Secundaria Factorizar un binomio

[MonsterV]

Como factorizo el siguiente binomio
$\dst {({x}^{2 }+2 )}^{2}$
y de paso que libro me recomiendan para estudiar los distintos metodos de factorizacion de polinomios y que no sea muy dificil de entenderle que contenga ejemplos y ejercicios, gracias por la ayuda

[pod]

Re: Factorizar un binomio

A no ser que quieras utilizar números complejos, ya lo tienes todo lo factorizado que puede estar.

Con números complejos, podrías escribir

$$(x^2 + 2)^2 = (x + \sqrt 2 i)^2(x - \sqrt 2 i)^2.$$

[angel relativamente]

Re: Factorizar un binomio

En general, sea $P(x)=a_1x^n+a_2x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ un polinomio de grado n, podemos factorizarlo del siguiente modo:

$$P(x)=a_1(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1})(x-x_n)$$

Siendo $x_1,x_2,\cdots x_{n-1}, x_n$ las raíces (o ceros) del polinomio. Es decir, que si igualamos a 0 dicho polinomio, las soluciones a la ecuación. Por ejemplo, si yo tuviese:

$x^2-2$

Sus raíces son $+\sqrt{2} \qquad \text{y} \qquad -\sqrt{2}$. Podríamos factorizarlo de este modo:


$x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$

Si haces la distributiva ves que queda lo mismo. En el polinomio que tu pones:

$(x^2+2)^2$

Como ya apunta pod, no se puede factorizar más en los reales, pues:

$x^2+2=0$ no tiene soluciones reales.

Pero sí tiene soluciones complejas:

$x^2=-2 \qquad \Rightarrow \qquad x=\pm \sqrt{2} i$

Luego su factorización será:

$[(x + \sqrt 2 i)(x - \sqrt 2 i)]^2=(x + \sqrt 2 i)^2(x - \sqrt 2 i)^2$

¡Saludos!