Secundaria Ecuación del plano

[Nabla]

¡Muy buenas!

Vengo con un ejercicio al que llevo dándole vueltas ya un buen rato, a ver si alguien me resuelve la duda que me crea... Ahí va:

"Halla la ecuación general del plano que equidista de los puntos $P\equiv(2,1,3)$ y $Q\equiv(0,3,-1)$ y es paralelo al plano $\pi \equiv3x-y+z+1=0$".

Pues bien, por ser paralelo a $\pi$, sabemos que el plano buscado será de la forma $\pi'\equiv 3x-y+z+D=0$, y que si equidista de $P$ y $Q$, entonces el punto medio $M$ del segmento $\bar{PQ}$ estará contenido en ese plano $\pi'$. Sustituyéndolo en $\pi'$, se obtiene $D$ y ése es el plano pedido, ¿no?

Si no me equivoco, hasta ahí bien... Pero se me ocurre otra cosa. La condición de equidistancia a dos puntos en el espacio ya genera por sí sola un plano mediador entre los dos puntos, ¿no? Entendiéndolo así, he hallado el plano mediador, y no es el mismo que el plano obtenido tras el razonamiento aplicado arriba.

¿Cuál de los dos razonamientos es incorrecto? Yo me decanto por el de abajo, ya que si te dan un plano $\pi$ y te imponen buscar otro $\pi'$ paralelo a éste, parece evidente que hay que tener en cuenta al vector normal y todo eso. No obstante, no veo por qué es incorrecto que la condición de equidistancia genere por sí sola un plano mediador (que, además, es independiente al plano pedido)

Quizá sea una tontería (lo más probable), pero agradecería una aclaración
¡Gracias de antemano!

[Al2000]

Re: Ecuación del plano

Supongo que considerar que el plano perpendicular al punto medio de la recta PQ cumple con la condición de ser equidistande de ambos puntos, pero igualmente cualquier plano paralelo a la recta PQ lo cumplirá.

Saludos,

Al

[Nabla]

Re: Ecuación del plano

Pero siendo paralelo el plano a la recta PQ, no todos los puntos del plano equidistarán de P y Q, ¿no?
Quiero decir, imaginándomelo en mi cabeza, veo que habrá puntos del plano "más cercanos" a un punto que a otro.

Saludos

[Al2000]

Re: Ecuación del plano

Depende como definas la distancia de un punto a un plano. Para mi al menos es la distancia de la recta trazada desde el punto perpendicularmente hasta el plano.

Saludos,

Al

[Nabla]

Re: Ecuación del plano

Cierto, no había utilizado el concepto de distancia en su sentido estricto.
Muchas gracias

Saludos