1r ciclo Propiedades Norma Matricial

[kuvala]

Hola Buenas :

Tengo varias dudas acerca de este tema. Empiezo:

Tenemos estas tres propiedades:

1) $\left\vert{} \left\vert{} Ax\right\vert{} \right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{} \left\vert{} \left\vert{} x \right\vert{} \right\vert{}$

2) $\left\vert{} \left\vert{} AB\right\vert{} \right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{} \left\vert{} \left\vert{} B \right\vert{} \right\vert{}$

3) $\left\vert{} \left\vert{} A+B\right\vert{} \right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}+ \left\vert{} \left\vert{} B \right\vert{} \right\vert{}$

y ahora para demostrarlas empieza por la primera propiedad de la siguiente manera

"Teniendo en cuenta que $\frac{x}{ \left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{} }$ es de norma 1 y por tanto,

$\left\vert{} \left\vert{}A\frac{x}{\left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{} } \right\vert{} \right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}$, [1]

se tiene que

$\left\vert{}\left\vert{}Ax \right\vert{} \right\vert{} = \left\vert{}\left\vert{}A\frac{x}{ \left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{} } \left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{} \right\vert{} \right\vert{} = \left\vert{}\left\vert{}A\frac{x}{ \left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{} } \right\vert{} \right\vert{}\left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{} A \right\vert{} \right\vert{}\left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{}$" [2]

La segunda propiedad utiliza un razonamiento un tanto similar al primero y la tercera y última, utiliza la desigualdad triangular.

Aquí están mis dudas:

- En la demostración de la primera propiedad no entiendo de donde saca $\left\vert{} \left\vert{}A\frac{x}{\left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{} } \right\vert{} \right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}$ Qué razonamiento utiliza para llegar a eso.

- ¿Por qué si se tiene [1] se tiene [2]?

- En la desigualdad triangular, entiendo el razonamiento que se sigue en la demostración para números, pero no para vectores. Usando como guía la demostración que hay en esta página http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_triangular , en el punto en el que dice que $\left\vert{}a \right\vert{}\leqslant b$ si y solo sí $-b\leqslant a\leqslant b$, si fuesen vectores esto no se podría aplicar, ¿no?, porque un vector no se puede encontrar entre un vector y otro (que sería el caso de a y b)


Muchas Gracias

Un Saludo

[[Beto]]

Re: Propiedades Norma Matricial

En la demostración de la primera propiedad no entiendo de donde saca $\left\vert{} \left\vert{}A\frac{x}{\left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{} } \right\vert{} \right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}$ Qué razonamiento utiliza para llegar a eso.

Hola, para ello tienes que notar que $\left\vert A \dfrac{x}{\vert x\vert}\right\vert=\vert A\vert\cos(\theta)\leq \vert A\vert$ donde $\theta$ es el ángulo formado entre $A$ y $x$, nota que es inmediata esa desigualdad pues $\cos\theta\leq 1$.

$\left\vert{}\left\vert{}Ax \right\vert{} \right\vert{} = \left\vert{}\left\vert{}A\frac{x}{ \left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{} } \left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{} \right\vert{} \right\vert{} = \left\vert{}\left\vert{}A\frac{x}{ \left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{} } \right\vert{} \right\vert{}\left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{} A \right\vert{} \right\vert{}\left\vert{}\left\vert{}x \right\vert{} \right\vert{}$" [2]

Primera igualdad: Toma en cuenta que $\dfrac{\vert x\vert}{\vert x\vert}=1$

Segunda igualdad: Como $\vert x\vert$ es un número puede salir de la norma.

Tercera igualdad: reemplazan lo anteriormente demostrado.

en el punto en el que dice que $\left\vert{}a \right\vert{}\leqslant b$ si y solo sí $-b\leqslant a\leqslant b$, si fuesen vectores esto no se podría aplicar, ¿no?

Nota que le aplican la desigualdad a las normas que son números.

Si te queda alguna duda, pregunta con confianza.

[beliytxuri]

Re: Propiedades Norma Matricial

Hola a todos.

Hay una cosa Beto que no me encaja. Hablas del ángulo $\theta$ que defines como el "ángulo" entre una matriz (A) y un vector (x). ¿?

La demostración de la propiedad (1) viene de la propia definción de norma matricial cuando está inducida por una norma vectorial previa. (Supongo que éste será el caso de las normas matriciales que estás estudiando).

La definición de norma matricial es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ,

ya que se alcanza el máximo en algún vector $y$ del círculo unidad, que es cerrado y acotado.

(Para distinguir, he querido denotar por $\left\vert{}\left\vert{}... \right\vert{} \right\vert{}$ la norma matricial y por $\left\vert{}... \right\vert{}$, la norma vectorial que induce la matricial).

Se demuestra fácilmente (aprovechando las propiedades de la norma inducida) que esta norma cumple con las propiedades generales de las normas.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\left\vert{}\left\vert{}A+B \right\vert{}\right\vert{}\leqslant \left\vert{}\left\vert{}A \right\vert{} \right\vert{}+\left\vert{}\left\vert{}B \right\vert{} \right\vert{}$

A partir de esta definición, la propiedad [1] es evidente, ya que la norma de la matriz es mayor que la norma de cualquier vector de la forma Au, con u en el círculo unidad.

[[Beto]]

Re: Propiedades Norma Matricial

Error mio no haber leído la palabra matricial.