1r ciclo Norma matricial y radio espectral

[kuvala]

Hola Buenas :

No entiendo de donde se deduce esto y por qué es así:

$\left\vert{} \left\vert{} Ax \right\vert{} \right\vert{} =\sqrt{{(Ax)}^{T }(Ax) }=\sqrt{{x}^{T }{A}^{ T}Ax }$

y no así


$\left\vert{} \left\vert{} Ax \right\vert{} \right\vert{} =\sqrt{(Ax){(Ax)}^{T } }$

Otra cosa, en lo del radio espectral, en la notación $\rho({A}^{ T}A )$ rho es un número que multiplica lo de dentro es simplemente que se indica de esa manera?

Muchas gracias

Un Saludo

[lindtaylor]

Re: Norma matricial y radio espectral

Eso tengo entendido que no se deduce, se define una norma para trabajar. Puedes comprobar que es una norma.

Si fuera asi como dices, $|Ax|=\sqrt{(Ax)(Ax)^T}$, suponiendo $A_{m\times n} x_{n\times 1}$ se tendria que $|Ax|=\sqrt{(Ax)_{m\times 1}(Ax)_{m\times 1})^T}=\sqrt{(Ax)_{m\times 1}(B_{1\times m}}$ y asi $|Ax|=\sqrt{C_{m\times m}}$ algo no definido (tiene que ser un escalar).

[kuvala]

Re: Norma matricial y radio espectral

Eso tengo entendido que no se deduce, se define una norma para trabajar. Puedes comprobar que es una norma.

Si fuera asi como dices, $|Ax|=\sqrt{(Ax)(Ax)^T}$, suponiendo $A_{m\times n} x_{n\times 1}$ se tendria que $|Ax|=\sqrt{(Ax)_{m\times 1}(Ax)_{m\times 1})^T}=\sqrt{(Ax)_{m\times 1}(B_{1\times m}}$ y asi $|Ax|=\sqrt{C_{m\times m}}$ algo no definido (tiene que ser un escalar).

Hola Buenas :

Después de darles muchas vueltas a "por qué tenía que ser $\left\vert{} \left\vert{} Ax \right\vert{} \right\vert{} =\sqrt{{(Ax)}^{T }(Ax) }=\sqrt{{x}^{T }{A}^{ T}Ax }$ y no al revés", me di cuenta que la razón de ser así es inmediata.

Teniendo en cuenta que estamos definiendo una norma y esto es el producto escalar de un vector por sí mismo, tenemos que la notación matricial de un producto escalar entre dos vectores es ${x}^{T }y$, para cualesquiera vectores $x$ e $y$. Entonces, en este caso particular, como el producto $Ax$ da como resultado un vector, necesariamente tiene que ser ${(Ax)}^{T }(Ax)$. Por otro lado, con las propiedades de las matrices para transponerlas tenemos que ${(Ax)}^{T }(Ax)={x}^{T }{A}^{T }Ax$

La duda que yo tenía en mi primer post era una "tontería", pero claro, no te das cuenta hasta que lo entiendes jeje.

Un Saludo