Secundaria Duda sobre la distancia entre dos puntos en la geometría hiperbólica (modelo del semiplano de Poincaré)

[Weip]

Buenas, estoy haciendo un trabajo sobre las geometrías no euclidianas, y me ha surgido la siguiente duda referente a la distancia entre dos puntos en la geometría hiperbólica, concretamente en el modelo del semiplano de Poincaré:

He visto que la distancia entre dos puntos en una recta como la del dibujo de más bajo (como un semicírculo) viene determinada por la siguiente expresión:

[FONT=Calibri][FONT=Calibri][FONT=Calibri][/FONT][/FONT][/FONT]

Pero la distancia entre dos puntos en una recta euclídea (como la de más abajo) en éste mismo modelo es:

Como ya os habreis dado cuenta, las formulas son parecidas, pero la de abajo es una simplificación de la primera. La pregunta es ¿Porqué es así? ¿De donde sale la segunda fórmula? Agradeceria mucho si alguien me pudiese demostrar las fórmulas de la distancia.

Gracias por adelantado.

[xXminombreXx]

Re: Duda sobre la distancia entre dos puntos en la geometría hiperbólica (modelo del semiplano de Poincaré)

En realidad es al revés.

Se empieza definiendo distancia hiperbólica de dos puntos con tu segunda fórmula, pero sólo vale si los puntos están en la misma recta perpendicular a la recta del infinito, que define el semiplano hiperbólico.

Luego se generaliza a distancia entre dos puntos cualesquiera, demostrando que la transformación llamada inversión con respecto a una circunferencia preserva la razón doble de cuatro puntos. Es una demostración sencilla.

Aprovechándonos del logaritmo en la distancia, podemos entonces, para dos puntos cualesquiera, crear la circunferencia centrada en la recta del infinito que pase por esos dos puntos y hacer la inversión con respecto a otra circunferencia cuyo centro esté en los puntos A ó B. La inversión de la circunferencia primera es una recta perpendicular a la del infinito, y como se preservan las razones dobles, entonces generalizamos la distancia convirtiendo la circunferencia en recta por medio de la inversión.

Es una bonita manera de ver que para una circunferencia centrada en $l_\infty$, la semicircunferencia que está en el semiplano hiperbólico es en realidad una recta hiperbólica, ya que para tres puntos A,B y C en esa semicircunferencia, se cumple que d(A,B)+d(B,C) = d(A,C), suponiendo que $B\in \left[ A,C\right]$

[Weip]

Re: Duda sobre la distancia entre dos puntos en la geometría hiperbólica (modelo del semiplano de Poincaré)

Gracias por la respuesta, pero ¿Me podrías explicar un poco más la inversión? Es que no la he entendido bien.

[xXminombreXx]

Re: Duda sobre la distancia entre dos puntos en la geometría hiperbólica (modelo del semiplano de Poincaré)

La inversión es una transformación del espacio que se realiza con respecto a un punto C y una circunferencia de radio r centrada en ese punto, y que cumple lo siguiente:

Si marcamos la inversión de un punto X con el punto X', entonces debe cumplirse que:

CX·CX' = r² para todo punto X en el plano menos el centro de la circunferencia, que es el punto C, y además los puntos C, X y X' están alineados.

Esa es la inversión. Ahora vamos con la distancia hiperbólica. Si cogemos dos puntos P y Q ambos situados en una recta perpendicular a la recta infinito, y cogemos sus inversos, que también están en la misma recta, y medimos su distancia con respecto a la recta del infinito en hiperbólica, llamemos al punto intersección de la recta infinito y la recta donde están los puntos P y Q: R (haz un dibujo para ir viéndolo). Suponemos la inversión con respecto a ese punto y una circunferencia de cualquier radio, tenemos lo siguiente:

RP·RP' = r² = RQ·RQ'

RP/RQ = RQ'/RP'

$d(P,Q) = \log \frac{RP}{RQ} = \log \frac{RQ'}{RP'} = -\log \frac{RP'}{RQ'}$

Como la distancia hiperbólica es en valor absoluto, entonces tenemos que d(P,Q) = d(P',Q').

Ahora generalizamos esta propiedad (d(P,Q) = d(P',Q')) a todo el plano...

d(P,Q) = d(P',Q') = $|\log (P',Q':R,\infty)|$

Lo que hay en el logaritmo se conoce como razón doble, y es lo siguiente:

$\frac{RP'}{RQ'}:\frac{\infty P'}{\infty Q'} = \frac{RP'}{RQ'}$

estás considerando que todos los puntos están igualmente alejados del infinito, y que el inverso del punto R es el infinito.

A partir de aquí sólo hay que ver que la inversión conserva la razón doble (ya que $\infty ' = R; R' = \infty$, y aplicarla a las semicircunferencias con centro en la recta del infinito.

[Weip]

Re: Duda sobre la distancia entre dos puntos en la geometría hiperbólica (modelo del semiplano de Poincaré)

De acuerdo, ahoera ya entiendo bien tanto la inversión como de donde salen esas fórmulas. Gracias por tu ayuda.

[juantv]

Re: Duda sobre la distancia entre dos puntos en la geometría hiperbólica (modelo del semiplano de Poincaré)

Disculpa, esas expresiones son definiciones o son deducibles ?, si son deducibles, podrías darme un enlace donde verlo, gracias.

[Weip]

Re: Duda sobre la distancia entre dos puntos en la geometría hiperbólica (modelo del semiplano de Poincaré)

Las fórmulas las saqué de ésta página:
http://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/model.html
No sé si te servirá de algo ya que la explicación es más bien básica, pero en esa misma página te puedes descargar un programa de dibujo de geometría hiperbólica (Con el que he hecho los dibujos del primer post).