1r ciclo Definición de la dirección del producto vectorial

[Julián]

Dado $\vec{a} = {a}_{1}\hat{\imath} + {a}_{2}\hat{\jmath}$ y Dado $\vec{b} = {b}_{1}\hat{\imath} + {b}_ {2}\hat{\jmath}$

El modulo del producto vectorial es $a b \sin (\theta) \hat{k}$

¿Hay alguna razón de que el vector resultante del producto vectorial tenga la dirección $\hat{k}$ ? , que sea necesariamente perpendicular a los otros?
A lo que me refiero si se definió así por convención, pudiéndose haber definido como:

$a b\sin (\theta) \hat{\imath}$
o
$a b \sin (\theta) \hat{\jmath}$

[pod]

Re: Definición de la dirección del producto vectorial

El producto vectorial siempre es perpendicular a los dos vectores que lo forman. Es una propiedad general.

[Julián]

Re: Definición de la dirección del producto vectorial

Pero esa definición de que el producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular al plano que forman los dos primeros, ¿es una convención? o ¿tiene algún fundamente?
Digo esto porque siempre se ve en las bibliografías que se dice que es así pero no el porque.

[Cat_in_a_box]

Re: Definición de la dirección del producto vectorial

Hola,

Que el vector resultante del producto vectorial sea perpendicular se demuestra fácilment de la propia definición de producto vectorial. Veamos desde un punto de vista un poco más formal esta definición. Considera pues un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3, $(V,\mathbb{R},(;))$ donde $(;)$ representa el producto escalar usual. Sea pues una base ortonormal de este espacio ${e_1, e_2,e_3}$.

Fijados unos vectores $u,v\in V$ tomemos la siguiente aplicación lineal:

$$\begin{aligned} V & \longrightarrow \mathbb{R}, \\ w & \longrightarrow \det_{(e_i)}(u,v,w) . \end{aligned}$$

Como ya he dicho, la aplicación es lineal (eso es fácil de comprobar). Por tanto, es un elemento del espacio dual de $V$, es decir de $V^*$. Consideremos ahora un vector $z$ correspondiente a este elemento a través del isomorfismo siguiente:

$$\begin{aligned} \phi:V & \longrightarrow V^*\\v & \longrightarrow v^* \end{aligned}$$

Así pues, mediante este isomorfismo canónico tienes que:

$$\begin{aligned} \phi:V & \longrightarrow V^*\\z & \longrightarrow z^* =\det_{(e_i)}(u,v, \quad)\end{aligned}$$

Con esto quiero denotar que:

$$w\cdot z=\det_{(e_i)}(u,v,w) \quad\forall w\in V$$

Esta es pues la definición propia de producto vectorial de dos vectores en términos de aplicaciones lineales y espacio dual. Justamente ese vector que hemos relacionado a través del isomorfismo es el producto vectorial de $u,v$ es decir:

$$z=u\wedge v$$

De esta definición se desprende que $u\wedge v$ es ortogonal a $u$ y a $v$. Es decir, es una proposición que se deduce de la definición de producto vectorial. Es fácil demostrarlo, teniendo en cuenta que:

$$w\cdot(u\wedge v)=\det_{(e_i)}(u,v,w)\Rightarrow u\cdot(u\wedge v)=\det_{(e_i)}(u,v,u)=0$$

Lo mismo para el vector $v$. Como el producto escalar es cero, los vectores son ortogonales. Espero que con esto te haya ayudado y no liado con la notación, que la verdad es que es un poco pesada.

Saludos,

[carroza]

Re: Definición de la dirección del producto vectorial

Pero esa definición de que el producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular al plano que forman los dos primeros, ¿es una convención? o ¿tiene algún fundamente?
Digo esto porque siempre se ve en las bibliografías que se dice que es así pero no el porque.

Hola. Por poner en palabras la demostración de Cat_in_a_box :

Con dos vectores uno puede hacer varias combinaciones. Pero si uno quiere obtener otro vector, y exigimos:

1) que la operación sea lineal, es decir que si duplico uno de los vectores se duplica el producto, y

2) que si aplicamos una rotación arbitraria a los dos vectores, se nos rote igualmente el producto,

entonces nos queda que necesariamente el producto vectorial tiene que ser perpendicular al plano de los otros dos.

Ojo, esto es sólo válido si trabajamos en tres dimensiones.


Saludos

[SO3]

Re: Definición de la dirección del producto vectorial

Esencialmente es lo que ha dicho Cat_in_a_box, pero el producto vectorial realmente depende de DOS estructuras, pero que en general se omiten al trabajar en espacios vectoriales o en R^3, y luego uno tiene que pensar que es que cuando trabaja en variedades Riemannianas.

El producto vectorial depende de una métrica $\langle, \rangle$y una forma de volumen $\mu$ . Estos dos objetos se pueden definir a partir de la elección de una base, pero no forman parte de la estructura de espacio vectorial, son estructuras extras.

Fijados esas dos estructuras, defines el producto vectorial de manera implicita por $\langle v \times w, u \rangle = \mu (v,w, u)$ como explico Cat.

[Julián]

Re: Definición de la dirección del producto vectorial

Entonces el vector resultante del producto vectorial de otros dos es un vector que esta relacionado con estos de manera que la variación de algunos de los dos da una igual variación en el vector producto vectorial.

1) que la operación sea lineal, es decir que si duplico uno de los vectores se duplica el producto, y

2) que si aplicamos una rotación arbitraria a los dos vectores, se nos rote igualmente el producto,

La primera la entiendo, pero no tanto la segunda.
¿A qué se refiere con rotación arbitraria? ¿de que manera es esa rotación?

saludos.

[carroza]

Re: Definición de la dirección del producto vectorial

Por ejemplo, si rotas 30 grados en torno al eje z los dos vecores que multiplicas, el resultado del producto vectorial de los vectores rotados debe ser el producto vectorial de los vectores sin rotar, rotado 30 grados en torno la eje z.