Secundaria Producto escalar de un vector unitario por un vector diferencial

[angel relativamente]

Hola a todos.
Mi libro de física tiene un apartado donde demuestra que $\vec u_r \cdot \dd \vec r=\dd r$.
Según él:

$\vec u_r \cdot \dd \vec r=\dfrac{\vec r}{r}\cdot \dd \vec r$

Puesto que $\vec r \cdot \vec r=r^2$ entonces $\dd(\vec r \cdot \vec r)=\dd r^2=2rdr$

Por otra parte:

$\dd(\vec r \cdot \vec r)=\dd \vec r \cdot \vec r + \vec r \cdot \dd \vec r = 2\vec r \cdot \dd \vec r$

Así:

$2\vec r \cdot \dd \vec r = 2r \dd r \Rightarrow \vec r \cdot \dd \vec r =r \dd r$

En consecuencia:

$\vec u_r \cdot \dd \vec r=\dfrac{\vec r}{r}\cdot \dd \vec r=\dd r$




La demostración la entiendo. No obstante, se me ocurre algo más sencillo que no sé si estará bien:

Si $\dd \vec r$ es un vector con dirección y sentido de $\vec r$ y módulo $\dd r$, entonces por el producto escalar:

$\vec u_r \cdot \dd \vec r = \left\vert{} \vec u_r\right\vert{} \cdot \left\vert{} \dd \vec r\right\vert{} \cdot \cos 0 =\dd r$

¿Es correcto mi planteamiento? Si lo fuese no sé por qué se complica tanto el libro.

Saludos y muchas gracias,

[Al2000]

Re: Producto escalar de un vector unitario por un vector diferencial

Perdona pero ¿por qué asumes que $d \vec r$ tiene la dirección de $\vec r$? Eso sólo será cierto si el vector $\vec r$ tiene dirección constante...

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Producto escalar de un vector unitario por un vector diferencial

Perdona pero ¿por qué asumes que $d \vec r$ tiene la dirección de $\vec r$? Eso sólo será cierto si el vector $\vec r$ tiene dirección constante...

No lo había visto de esa forma. Gracias Al

Aún así no quedo del todo convencido. Si $\vec r$ tiene dirección variable, entonces $\dd \vec r$ también tiene dirección variable, de modo que en cada punto de la trayectoria los vectores $\vec r$ y $\dd \vec r$ tienen la misma dirección y sentido. ¿Me equivoco?

Saludos,

[javier m]

Re: Producto escalar de un vector unitario por un vector diferencial

Hola.
$\vec{v}=\dst\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d}t }$

Eso dice mucho, es claro que $\dd \vec{r}$ es paralelo a $\vec{v}$. Pero eso no quiere decir que $\vec{v}$ tenga la misma dirección que $\vec{r}$

[pod]

Re: Producto escalar de un vector unitario por un vector diferencial

No lo había visto de esa forma. Gracias Al

Aún así no quedo del todo convencido. Si $\vec r$ tiene dirección variable, entonces $\dd \vec r$ también tiene dirección variable, de modo que en cada punto de la trayectoria los vectores $\vec r$ y $\dd \vec r$ tienen la misma dirección y sentido. ¿Me equivoco?

Saludos,

Ejemplo más sencillo: MCU. $\dd r = 0$, pero $\dd\vec r \neq 0$.

[skinner]

Re: Producto escalar de un vector unitario por un vector diferencial

El vector dr es tangente a la trayectoria, y si ésta no es una trayectoria recta sino curva, los vectores de r y dr no son paralelos.

Un saludo!