1r ciclo Producto entre vectores

[guibix]

Buenas,

Tengo un par de dudas de origen distinto, pero creo que caben en un mismo post:

Necesito definir un producto * entre dos vectores $\vec{v}$ y $\vec{u}$ de dimensión $n$ tal y que

$$\vec{v}*\vec{u}=\vec{z}=v_{x_0}u_{x_0}x_0+v_{x_1}u_{x_1}x_1+...+v_{x_n}u_{x_n}x_n$$

$$\vec{v}*\vec{u}=\sum_{i = 1}^n v_{x_i}u_{x_i}x_i$$

Es conmutativo, asociativo y distributivo

El caso es que tengo definirlo así porqué sus propiedades concuerdan con algo que necesito. Es un producto obvio, pero no lo he visto definido en ninguna parte. Sería el equivalente del producto no escalar entre dos funciones en un espacio de Hilbert, que nos daría otra función (vector) y no un escalar. Y con sus componentes iguales al producto de las componentes de las dos funciones que multiplicamos.

¿Existe definido este producto para vectores?

¿Tiene nombre y símbolo?

La otra duda que tengo es sobre si el producto vectorial es exclusivo de un espacio de tres dimensiones. Lo digo porqué si lo aplico en digamos 4 dimensiones, no me sale un solo vector. Más bien aparece un círculo de radio igual a la magnitud del vector que "debería" resultar, ya que tenemos infinitos vectores perpendiculares al plano creado por los dos vectores que multiplicamos. Y con cinco dimensiones sale una esfera.

¿Esto es así o se me escapa algo?

Gracias y un saludo.

[pod]

Re: Producto entre vectores

Buenas,

Tengo un par de dudas de origen distinto, pero creo que caben en un mismo post:

Necesito definir un producto * entre dos vectores $\vec{v}$ y $\vec{u}$ de dimensión $n$ tal y que

$$\vec{v}*\vec{u}=\vec{z}=v_{x_0}u_{x_0}x_0+v_{x_1}u_{x_1}x_1+...+v_{x_n}u_{x_n}x_n$$

$$\vec{v}*\vec{u}=\sum_{i = 1}^n v_{x_i}u_{x_i}x_i$$

Es conmutativo, asociativo y distributivo

El caso es que tengo definirlo así porqué sus propiedades concuerdan con algo que necesito. Es un producto obvio, pero no lo he visto definido en ninguna parte. Sería el equivalente del producto no escalar entre dos funciones en un espacio de Hilbert, que nos daría otra función (vector) y no un escalar. Y con sus componentes iguales al producto de las componentes de las dos funciones que multiplicamos.

¿Existe definido este producto para vectores?

¿Tiene nombre y símbolo?

Eso es el producto escalar con métrica $g = \mathrm{diag}(x_1,\ x_2,\ \ldots, x_n)$. Tu mismo te has dado la pista, el producto de Hilbert no es más que un producto escalar con métrica.

La otra duda que tengo es sobre si el producto vectorial es exclusivo de un espacio de tres dimensiones. Lo digo porqué si lo aplico en digamos 4 dimensiones, no me sale un solo vector. Más bien aparece un círculo de radio igual a la magnitud del vector que "debería" resultar, ya que tenemos infinitos vectores perpendiculares al plano creado por los dos vectores que multiplicamos. Y con cinco dimensiones sale una esfera.

¿Esto es así o se me escapa algo?

Gracias y un saludo.

El producto vectorial es una chapuza que sólo sirve en tres dimensiones.

El equivalente para cualquier dimensión es el producto exterior de formas. El producto vectorial es una chapuza porque para empezar nos hace creer que lo que multiplicamos son vectores (se aprovecha que un espacio vectorial y su dual son isomorfos, en cualquier dimensión).

El producto exterior de dos formas es una 2-forma. Ahora bien, en n dimensiones la base de 2-formas es de dimensión $n \choose 2$, que en n=3 nos da de nuevo tres. Por lo tanto, el espacio de 2-formas en n=3 es isomorfo al espacio vectorial original. Ahí es donde nos vuelve a engañar el producto vectorial, nos hace creer que el resultado es un vector, aprovechándose de un nuevo isomorfismo causal.

[guibix]

Re: Producto entre vectores

Eso es el producto escalar con métrica $g = \mathrm{diag}(x_1,\ x_2,\ \ldots, x_n)$. Tu mismo te has dado la pista, el producto de Hilbert no es más que un producto escalar con métrica.

¿Que notación debo usar, hay un estándar? Más que nada para las fórmulas que quiero expresar con él

El producto vectorial es una chapuza que sólo sirve en tres dimensiones.

El equivalente para cualquier dimensión es el producto exterior de formas. El producto vectorial es una chapuza porque para empezar nos hace creer que lo que multiplicamos son vectores (se aprovecha que un espacio vectorial y su dual son isomorfos, en cualquier dimensión).

El producto exterior de dos formas es una 2-forma. Ahora bien, en n dimensiones la base de 2-formas es de dimensión $n \choose 2$, que en n=3 nos da de nuevo tres. Por lo tanto, el espacio de 2-formas en n=3 es isomorfo al espacio vectorial original. Ahí es donde nos vuelve a engañar el producto vectorial, nos hace creer que el resultado es un vector, aprovechándose de un nuevo isomorfismo causal.

Gracias Pod por tu clarificación. Siempre había pensado que ese producto era una cosa rara. Por lo que dices, entiendo que se aprovechan de que en tres dimensiones sólo hay una dirección perpendicular a un plano que se puede usar como vector, dándole la magnitud del área que encierran los vectores originales. Buen truco .

Gracias y saludos.

[pod]

Re: Producto entre vectores

¿Que notación debo usar, hay un estándar? Más que nada para las fórmulas que quiero expresar con él

Pues las notaciones mas comunes son $\vec a \cdot \vec b$ y $\left\langle \vec a,\ \vec b \right\rangle$.

[guibix]

Re: Producto entre vectores

Pues las notaciones mas comunes son $\vec a \cdot \vec b$ y $\left\langle \vec a,\ \vec b \right\rangle$.

Vale, pero $\vec a \cdot \vec b$ lo uso para el producto escalar "tradicional". El $\left\langle \vec a,\ \vec b \right\rangle$, no me acaba de convencer porqué se puede confundir con $\left\langle a, b \right\rangle$ que lo uso para el producto escalar de funciones. ¿Me quedan alternativas? Lo digo porqué en alguna expresión me salen productos escalares con estos con métrica y tengo que diferenciarlos.

¿Quedaría fuera de lugar expresarlo algo así: $\vec a \circ\vec b$?

[arreldepi]

Re: Producto entre vectores

Mm, pero el resultado de este producto es un vector? El producto escalar tiene que dar un escalar sea como sea la métrica:

$$\vec u\cdot\vec v = \sum_{i,j}g_{ij}u^i v^j$$

lo digo porque en la primera línea has puesto $\vec u *\vec v = \vec z$, pero después no pones vector sobre las $x_i$. Si no es un vector es lo que te dice pod y lo puedes escribir como te dice él, que es la notación habitual, no es ningún producto raro, es el producto escalar con una métrica que no es $\delta_{ij}$.

Saludos!

[pod]

Re: Producto entre vectores

Vale, pero $\vec a \cdot \vec b$ lo uso para el producto escalar "tradicional". El $\left\langle \vec a,\ \vec b \right\rangle$, no me acaba de convencer porqué se puede confundir con $\left\langle a, b \right\rangle$ que lo uso para el producto escalar de funciones. ¿Me quedan alternativas? Lo digo porqué en alguna expresión me salen productos escalares con estos con métrica y tengo que diferenciarlos.

¿Quedaría fuera de lugar expresarlo algo así: $\vec a \circ\vec b$?

Es que lo que tú has puesto es el producto escalar "tradicional", y es lo mismo que el producto escalar de funciones

En general, un producto escalar tiene la siguiente forma (los vectores sin flechita se consideran matrices columna),

$$\vec v \cdot \vec w = v^T G w = \begin{pmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_n\end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> g_{11} & g_{12} & \cdots & g_{1n} \\<br /> g_{21} & g_{22} & \cdots & g_{2n} \\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\<br /> g_{n1} & g_{n2} & \cdots & g_{nn} <br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n\end{pmatrix}$$

Lo que tú llamas "tradicional" es que la matriz sea la identidad. Ahora bien, dada cualquier matriz siempre podemos hacer un cambio de base para diagonalizarla (bueno, bajo unas condiciones, como siempre ). Así que todos los productos escalares son igual de "tradicionales", sólo hay que cambiar de sistema de referencia. El que tú has escrito en el primer mensaje es un caso particular donde la matriz es diagonal (pero no la identidad).

Lo que tú llamas producto escalar de funciones no es más que una generalización de esto mismo a funciones: pasar de vector a funciones significa admitir que el subíndice de $v_i$ tenga valores reales, no sólo naturales. Es un paso al límite de lo más mínimo.

Así que todo esto es la misma estructura, no es algo diferente en cada caso. Luego, es normal que las nomenclaturas sean las mismas.

[guibix]

Re: Producto entre vectores

Ok!

La expresión a la que me refiero es parecida a algo así:

$$\vec{w}=\vec{w}_0+\vec{w_0}\cdot \vec{p}(\vec{w_0}\cdot \vec{p}-t)$$

Se distinguen los productos porqué un sumando es un vector y el otro no. Pero me temo que haya otras expresiones sin sumandos. Eso es lo que me preocupa: que no siempre se distinga fácilmente el cómo operarlos.

Saludos y muchas gracias de nuevo.

[pod]

Re: Producto entre vectores

Ok!

La expresión a la que me refiero es parecida a algo así:

$$\vec{w}=\vec{w}_0+\vec{w_0}\cdot \vec{p}(\vec{w_0}\cdot \vec{p}-t)$$

Se distinguen los productos porqué un sumando es un vector y el otro no. Pero me temo que haya otras expresiones sin sumandos. Eso es lo que me preocupa: que no siempre se distinga fácilmente el cómo operarlos.

Saludos y muchas gracias de nuevo.

¿Y para qué diablos quieres dos métricas diferentes en el mismo universo?

[guibix]

Re: Producto entre vectores

¿Y para qué diablos quieres dos métricas diferentes en el mismo universo?

Jajaja! me encanta tu pregunta y más la manera de formularla

No te sabría responder sin tener que exponer TODO el problema y no sabría por donde empezar

Diremos que tengo un vector que cambia de dirección y módulo. Por un lado, parto del vector original $w_0$ al que hay que sumarle otro vector para la transformación, que resulta ser una proporción de ese producto escalar con la métrica que resulta un vector. Y por otro lado, la escala de ese vector sumado es proporcional al producto con métrica escalar y a alguna otra constante (que no he puesto en la expresión).

No sé si es una "aberración", o si se puede simplificar para quedarme con un solo producto, pero es donde he llegado des de dos sitios diferentes: el vector que tengo que sumar y la proporción que debe tomar éste.

También debo decir que no es un problema físico, es más bien matemático. Aunque no creo que esto importa para que sea consistente. Si no puede ser consistente, habrá algún error de planteamiento que tendré que revisar, Si solamente es "raro" pero no inconsistente, tendré que hacer convivir estas dos métricas de alguna forma u otra .

Para mi, sería como diferenciar en un espacio Hilbert $f(x)g(x)$ de $\langle f(x),g(x) \rangle$, dónde yo no veo ninguna inconsistencia métrica en usar las dos formas en una misma expresión. Pues lo que busco es esto mismo, solo que pasado a vectores de dimensión $n\in N$.