Espacios Afines

[danyfeer]

Alguien Que Me Ayude Con El Concepto Espacios Afines, Como Puedo Representarlos Intuitivamente.
Gracias

[Entro]

Re: Espacios Afines

Un espacio afín es lo que sale cuando tienes un conjunto de puntos (A) y un espacio vectorial independiente definido sobre algún cuerpo (V), y resulta que hay una aplicación que cuando tomas dos puntos cualesquiera de A, siempre hay un vector en V que los conecta.

Un espacio afín es un espacio vectorial donde no hay definido un producto escalar, es decir, no hay noción de distancia. Estos espacios están bien para definir la noción de paralelismo entre rectas o entre planos, vamos para discutir posiciones relativas de elementos geométricos afines, es decir, de los cuales no te interesa ni distancias ni ángulos (ya que para calcular esto necesitas de un espacio vectorial con productor interno definido).

Para más señas mira estos enlaces:

http://usuarios.iponet.es/agusbo/une...untes/afin.PDF

http://pfortuny.sdf-eu.org/doc/Metodos/node14.html

http://www.ual.es/~dllena/CursoInteractivo/apendice4/node1.html

P.S.
Es mejor que para estas consultas uses los foros de matemáticas y no el de presentaciones.

[pod]

Re: Espacios Afines

Estrictamente, un espacio afín necesita de tres elementos:

• Un conjunto de puntos, digamos A.
• Un espacio vectorial, E.
• Una aplicación $\phi$ que dados dos puntos de A te dé, como resultado, un vector de E. Es decir, para $a_1, a_2\in A$, $\phi(a_1,\ a_2)\in E$. Esta aplicación debe cumplir:

1. Elemento fijo: $\forall a\in A$, $\forall v \in E$, siempre $\exists ! b\in A$ tal que $\phi(a,\ b) = v$.
2. Propiedad triangular: $\forall a,b,c \in A$, $\phi(a,\ b) + \phi(b,\ c) = \phi(a,\ c)$.

La primera condición significa que fijado un punto cualquiera, podemos llegar a cualquier otro punto mediante un vector en E. La consecuencia básica es que la aplicación con un punto $a$ fijo, $\phi(a,\ )$, es un isomorfismo entre A y E.

La segunda condición es básicamente lo que conocemos como "ley del paralelogramo". Dicho de otra forma, podemos pasar de $a$ a $c$ directamente, o bien pasando antes por $b$.

El significado de todo este es simplemente poder asignar a cada par de puntos el vector que los une. El ejemplo canónico es muy simple, y seguro que lo has utilizado miles de veces sin saber que estabas haciendo eso Por ejemplo, tomemos $A = E = \mathbb{R}^3$ y $\phi(a,\ b) = a - b$. Esta elección de la aplicación no es más que el típico problema ¿Cuál es el vector que une a = (9,8,7) y b = (1,2,3)? Pues bien, la respuesta no es más que la resta, $\phi(a,\ b) = (9,8,7)-(1,2,3) = (8,6,4)$.

La utilidad de definir algo tan sencillo como esto de una forma tan abstracta, es precisamente esa, que es mucho más general, y permite definir un contexto mucho más general donde deducir teoremas de muy amplia aplicación.

[Entro]

Re: Espacios Afines

pod eres un padre, tendré que pasarme por Barna para darte alguna clase y así tus alumnos te tendrán en una estima aún más alta. Si lo das todo tan mascadito me hubiera gustado ser tu alumno, o tu novia, según el caso.

[pod]

Re: Espacios Afines

pod eres un padre, tendré que pasarme por Barna para darte alguna clase y así tus alumnos te tendrán en una estima aún más alta. Si lo das todo tan mascadito me hubiera gustado ser tu alumno, o tu novia, según el caso.

Uhm... me lo tomaré como un cumplido. En cualquier caso ya no doy clases

Danyfeer: Se me olvidó explicar una cosita. Lo de fijar un punto $a$ y alcanzar el resto de puntos mediante un vector del espacio vectorial tiene un significado muy claro, también: fijar el origen de coordenadas. Como sabes, cuando configuras un sistema de coordenadas necesitas dos cosas: primero definir el punto de referencia a partir de donde empiezas a contar (el origen, $a$). Lo segundo sería la orientación de los ejes de coordenadas, que en este lenguaje es elegir una base en el espacio vectorial E. Como sabes, las coordenadas son un concepto que existen en los espacios vectoriales, pero como una vez fijado el origen, la aplicación $\phi(a,\ )$ es un isomorfismo, tenemos todo el derecho de llamar "coordenadas de un punto b" a las coordenadas del vector $v = \phi(a,\ b)$.

A la práctica, esa es la diferencia entre un espacio vectorial y uno afín. El espacio vectorial, al estar basado en la linealidad, siempre esta centrado en el vector cero. Esta construcción abstracta lo que hace es permitirnos colocar el origen en cualquier punto; y el origen siempre es el que corresponde al vector cero (deberes para ti: demostrar que siempre $\phi(a,\ a)$, para cualquier a).

[Dj_jara]

Re: Espacios Afines

Voy a dar una definición análoga de espacio afín (yo lo he estudiado que la aplicación va de$\delta : A \times V \rightarrow A$)

Sea A un conjunto distinto del vacío, a los elementos del cual llamaremos puntos.
Sea V un espacio vectorial sobre K
$\delta$ una aplicación que a cada punto y cada vector le asocia un punto.
$\delta : A \times V \rightarrow A\\<br /> (P, v) \rightarrow \delta (P,v) = P + v$ El + simplemente esta indicando una ley de composición, no es la típica suma!!!

Esta aplicación debe cumplir 2 axiomas

1. $\forall P, Q \in A \rightarrow \exists ! v\in V$ tal que $Q = P + v$
2. $\forall P \in A$ y $\forall v, u \in V$ se verifica que $(P+u) + v = P + (u +v)$ (Importante en el primer caso el + se refiere a la aplicación que asigna un punto al par (punto, vector), y a la derecha del igual el segundo + es la operación interna de $V$)

El segundo axioma es lo mismo que la relación de Chasles o ley del paralelogramo.
Si por comodidad tomamos el siguiente convenio$Q = P +u \rightarrow u = \vec{PQ}$
a partir del segundo axioma, Sea $R = P + u$ y $Q = R + v$ lo que obtenemos es que$(P+u) + v = Q = P + (u+v) = P+ \vec{PR} + \vec{RQ}$ y como el vector $\vec{PR} + \vec{RQ}$ relaciona P con Q entonces ese vector es $\vec{PQ} = \vec{PR} + \vec{RQ}$

[Entro]

Re: Espacios Afines

Uhm... me lo tomaré como un cumplido. En cualquier caso ya no doy clases

Es un cumplido...

A la práctica, esa es la diferencia entre un espacio vectorial y uno afín. El espacio vectorial, al estar basado en la linealidad, siempre esta centrado en el vector cero. Esta construcción abstracta lo que hace es permitirnos colocar el origen en cualquier punto; y el origen siempre es el que corresponde al vector cero (deberes para ti: demostrar que siempre $\phi(a,\ a)$, para cualquier a).

Esto último no lo he entendido, pero puede que sea porque estoy espesito...

[pod]

Re: Espacios Afines

Esto último no lo he entendido, pero puede que sea porque estoy espesito...

El espacio vectorial esta basado en la linealidad. Eso implica, entre muchas otras cosas, que bajo cualquier cambio de coordenadas (de base), el vector cero es siempre cero. No es posible hacer cambios de origen de coordenadas. La estructura del espacio afín permite precisamente eso, asignar el origen de coordenadas donde uno quiera.

Por cierto, hay otro problema que podemos dejar a danyfeer de deberes para casa: demostrar que la definición de dj_jara es equivalente a la otra. Seguramente, se basará en el hecho que toda aplicación biyectiva es invertible.

[Entro]

Re: Espacios Afines

Pues tengo que repasar esto que dices, porque yo pensaba que una traslación gobal cambiaba el origen de coordenadas. Pero me encanta descubrir estos puntos flojos en conceptos que se suponen que deberían de ser triviales, al menos podré estudiar unos días algo que entienda, lo que supondrá todo un alivio.

[carroza]

Re: Espacios Afines

Danyfeer: Se me olvidó explicar una cosita. Lo de fijar un punto $a$ y alcanzar el resto de puntos mediante un vector del espacio vectorial tiene un significado muy claro, también: fijar el origen de coordenadas. Como sabes, cuando configuras un sistema de coordenadas necesitas dos cosas: primero definir el punto de referencia a partir de donde empiezas a contar (el origen, $a$). Lo segundo sería la orientación de los ejes de coordenadas, que en este lenguaje es elegir una base en el espacio vectorial E. Como sabes, las coordenadas son un concepto que existen en los espacios vectoriales, pero como una vez fijado el origen, la aplicación $\phi(a,\ )$ es un isomorfismo, tenemos todo el derecho de llamar "coordenadas de un punto b" a las coordenadas del vector $v = \phi(a,\ b)$.

Una pregunta: La aplicacion, $\phi(a,\ )$, ¿tiene que ser necesariamente un isomorfismo? Estoy pensando en un conjunto de puntos que sea, por ejemplo, la superficie de una esfera. En ese caso, podria haber varios vectores v diferentes que provinieran de una pareja de puntos (a,b) (segun uno de mas o menos vueltas a la esfera, para llegar de a a b). ¿Es la superficie de la esfera un espacio afin, de dos dimensiones?

[Entro]

Re: Espacios Afines

Si le quitas un punto si, pero si no le quitas un punto la esfera es más bien un proyectivo.

[carroza]

Re: Espacios Afines

Entonces, ¿el conjunto de puntos de un espacio afin tiene que ser necesariamente no compacto?

[pod]

Re: Espacios Afines

Pues tengo que repasar esto que dices, porque yo pensaba que una traslación gobal cambiaba el origen de coordenadas. Pero me encanta descubrir estos puntos flojos en conceptos que se suponen que deberían de ser triviales, al menos podré estudiar unos días algo que entienda, lo que supondrá todo un alivio.

Es que en el espacio vectorial como tal no se pueden definir traslaciones, ya que no son aplicaciones lineales.

Una pregunta: La aplicacion, $\phi(a,\ )$, ¿tiene que ser necesariamente un isomorfismo? Estoy pensando en un conjunto de puntos que sea, por ejemplo, la superficie de una esfera. En ese caso, podria haber varios vectores v diferentes que provinieran de una pareja de puntos (a,b) (segun uno de mas o menos vueltas a la esfera, para llegar de a a b). ¿Es la superficie de la esfera un espacio afin, de dos dimensiones?

Si que debe ser isomorfismo, y de hecho esto me ha hecho darme cuenta que me dejé el símbolo de admiración en el existe de la definición De hecho, en el Castellet lo pone directamente en la definición.

Los espacios vectoriales están construidos de forma que cualquier vector puede ser multiplicado por cualquier número, y te debes quedar dentro del espacio vectorial.

La proyección estereoscópica que propone Entro, sólo funciona si el origen es el punto diametralmente opuesto al punto que quitas. Pero el espacio afín requiere que funcione para cualquier punto. La esfera, con punto o no, no es un espacio afín. Al menos, no con $\mathbb{R}^2$.

[danyfeer]

Re: Espacios Afines

estoy muy agradecido, pues la informacion que he recibido me ha sido muy util, espero tambien ser util en lo que pueda.
Ademas me gustaria hablar de macanica cuantica ya que con los que me ralaciono en la universidad tienen cortado el cordon umbilical de la inteligencia. gracias otra vez