Secundaria Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

[Weip]

Hola a todos, tengo una pequeña duda sobre las matrices:

Cuando uno quiere saber el rango de una matriz, aplica a dicha matriz un número concreto de transformaciones elementales para hacer 0 algunos de sus elementos.
Mi duda es, al aplicar a una fila una transformación elemental, ¿se puede en el siguiente paso aplicar una de estas transformaciones a una columna? Es decir, mi duda es que si en el mismo proceso se pueden ir transformando alternativamente filas y columnas, o si se ha de transformar siempre o bien filas o bien columnas durante todo el proceso.

Gracias por adelantado.

[polonio]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

Si no recuerdo mal, sí, se pueden alternar (ya que ninguna transformación elemental modifica el rango).

Mira aquí

[hennin]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

$rg(A):=num. de filas no nulas de H^{f}_{A}=num. de columnas no nulas de H^{c}_{A}$ siendo H la forma normal de Hermite por filas (o por columnas).

Para llegar a H, es necesario hacer transformaciones elementales sólo por filas o por columnas. Es decir, dos matrices que tengan el mismo rango, pueden tener distinta H si se hace por filas o por columnas pero se mantiene el rango.

Saludos.

[Weip]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

hennin, es que justamente ahora estoy empezando con las matrices y no me han introducido el término H que utilizas. ¿Qué significa? Más o menos lo puedo intuir, pero explícamelo por favor.

polonio, gracias por el enlace. En él, hay un ejemplo en que se alternan transformaciones de filas y de columnas, así que en principio se puede, ¿no? Bueno, a ver que me dice hennin sobre la H para asegurarme.


Gracias por vuestras respuestas.

[angel relativamente]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

Lo que no se puede es transformar una fila y una columna a la vez, pues cualquier fila y columna de una matriz tienen un elemento común. Así, si multiplicas por 2 una fila y por 3 una columna, el término en común se verá multiplicado por 6.
Lo que sí que puedes es transformar una columna y una fila (o vicecersa) una detrás de otra. Esto se puede explicar fácil si sabemos que el rango de una matriz es el mismo que el de su traspuesta. Si te quedas más tranquilo puedes hacer lo siguiente: Haz una transformación elemental sobre una fila. A continuación halla la traspuesta de dicha matriz. Puesto que se han intercambiado filas por columnas, haz otra transformación elemental sobre una fila. Ahora haz la traspuesta de la matriz resultante. Así, transformando solo las filas, hemos hecho lo mismo que transformando filas y columnas. Bastaría pues demostrar la propiedad de que "el rango de una matriz es igual que el de su traspuesta" para demostrar que podemos hacer transformaciones tanto en filas como en columnas, y eso es por la definición de rango.

Espero te haya aclarado,
Saludos

[hennin]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

para demostrar que podemos hacer transformaciones tanto en filas como en columnas, y eso es por la definición de rango.

Permíteme decirte que no .

Primero hay que demostrar lo siguiente: $H^{c}_{A^t}=(H^{f}_A)^t$

Y como la primera es equivalente por columnas a $A^t$ y la segunda es equivalente por filas a $A$. Se concluye que el "trasponer" no influye en el rango.

La demostración está en la página 9 http://www.mat.ucm.es/~edaguirr/al11...f#_Hlk96230565.

Weip, la definición de H está en la página 42 de este pdf http://xeloo.org/resources/matrices-y-determinantes.pdf.

Saludos y perdón por aludir a otros links.

[angel relativamente]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

Rectifico: "Que eso es por la definición de rango que me dieron en 2º de bach"

Yo tampoco conozco el termino H, voy a echarle un ojo.

Saludos

[polonio]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

Permíteme decirte que no .

Primero hay que demostrar lo siguiente: $H^{c}_{A^t}=(H^{f}_A)^t$

Y como la primera es equivalente por columnas a $A^t$ y la segunda es equivalente por filas a $A$. Se concluye que el "trasponer" no influye en el rango.

La demostración está en la página 9 http://www.mat.ucm.es/~edaguirr/al11...f#_Hlk96230565.

Weip, la definición de H está en la página 42 de este pdf http://xeloo.org/resources/matrices-y-determinantes.pdf.

Saludos y perdón por aludir a otros links.

Sigo sin ver por qué no se pueden alternar operaciones sobre filas y columnas... He echado un vistazo (por encima) a los enlaces que dices y no veo por qué no. En el enlace que puse se ve un ejemplo donde se usan transformaciones sobre filas y, al final, alterna una en columnas. Y, si se hubiese hecho antes, no afectaría al resultado. Como dice Ángel, lo que no se puede es hacer ambas operaciones a la vez.

[hennin]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

Sigo sin ver por qué no se pueden alternar operaciones sobre filas y columnas... He echado un vistazo (por encima) a los enlaces que dices y no veo por qué no. En el enlace que puse se ve un ejemplo donde se usan transformaciones sobre filas y, al final, alterna una en columnas. Y, si se hubiese hecho antes, no afectaría al resultado. Como dice Ángel, lo que no se puede es hacer ambas operaciones a la vez.

¿Quién ha dicho lo contrario? xD Yo justo dije eso. Sólo puntualicé que la forma normal de Hermite no es la misma si se hace por filas que si se hace por columnas, pero su rango no varía.

Ejemplo: si tienes un sistema AX=B, y por el camino cambias las operaciones de filas y columnas (mediante el llamado método de Gauss) entonces tendrás algún error.

PD: la idea de H (por filas) es básicamente consiste en dejar la matriz escalonada, con unos en sus primeros términos (de izq. a dcha), con ceros por debajo de esos unos.

Pero vamos, que sí se puede combinar para simplemente conocer el rango de la matriz.

[polonio]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

¡Ah!, entonces estamos de acuerdo, pero es que ponerse a hablar de la forma normal de Hermite a un chico de secundaria que tiene una duda simple sobre cómo poder operar con las transformaciones elementales para obtener el rango tiene narices...

[Weip]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

Gracias por vuestras respuestas.
hennin, el pdf que has puesto tiene 24 páginas, así que encontrar la 42 es un poco difícil. En el texto he leído que se hace alusión al concepto "matriz normal". ¿Qué es, una matriz cuadrada?
Eso de la H creo que lo entiendo. Lo que no logro entender es que la matriz se ha de quedar escalonada, hay veces que esto no es posible porque a veces con una transformación se te quedan dos columnas con 0, y se saca el rango igual.
Una cosa, cuando hablas de un sistema AX=B, ¿te refieres a un sistema de ecuaciones lineales? Por cierto, al resolver estos sistemas, ¿se puede hacer por columnas? (el libro solo usa filas). Al hacer las transformaciones, en realidad estás simplificando el sistema. ¿Una simplificación así hace que puedas perder alguna solución (estilo las ecuaciones trigonométricas)?

Ángel, ¿que es una matriz traspuesta? ¿puede ser que sea una matriz equivalente a la anterior?

Todo esto lo pregunto porque en mi libro solo se opera con filas, y no dice nada de las columnas. Además, se tarda mucho en hacer el proceso, y tengo una matriz en la que necesito cambiar columnas para ahorrar tiempo pero no estaba seguro de que se pudiera hacer.

[angel relativamente]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

Ángel, ¿que es una matriz traspuesta? ¿puede ser que sea una matriz equivalente a la anterior?

Una matriz traspuesta es la matriz que resulta al cambiar las filas por las columnas y viceversa. Por ejemplo, la traspuesta de la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$ es $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$

Saludos,

[hennin]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

pero es que ponerse a hablar de la forma normal de Hermite a un chico de secundaria que tiene una duda simple sobre cómo poder operar con las transformaciones elementales para obtener el rango tiene narices...

Nunca viene mal saber de dónde viene la definición de rango, porque en bach. se hacen más que alguna que otra locura.

hennin, el pdf que has puesto tiene 24 páginas, así que encontrar la 42 es un poco difícil

La 42 del texto, es decir, por su numeración.

Saludos.

[Weip]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

Gracias por vuestras aclaraciones, ya lo entiendo. Ya que he hecho el hilo, permitidme una pregunta sobre las transformaciones elementales: tal como uno puede multiplicar toda una fila o columna por una constante, ¿también se puede dividir? ¿y demás operaciones aritméticas se pueden? Parece que no pero uno ahorra mucho tiempo sabiendo estas cosas. Hablando del tiempo, ¿hay alguna manera de llegar más rápidamente al rango de una matriz (pasando igual por las transformaciones)? Es que no sé como me lo voy a hacer en el examen, tardo más de diez minutos determinando el rango de cada matriz.

Gracias por adelantado.

[hennin]

Re: Duda sobre matrices y transformaciones elemetales

En matemáticas, dividir es multiplicar por la inversa. Lo que puedes hacer es lo siguiente:
1. Multiplicar una fila (o columna) por una constante (distinta de cero evidentemente).
2. Sumar (y restar) una fila (o columna) con otra.
3. Multiplicar una fila y sumársela a otra.

Para determinar el rango, también puedes usar las propiedades de los determinantes.