Secundaria Geometrías no euclidianas

[Weip]

Hola a todos:

Véreis, tengo un problemilla a ver si me podeis dar consejo. Resulta que en el colegio he hecho un trabajo de investigación (que lo hacen todos los alumnos de Cataluña en el bachillerato, es un trabajo importante) sobre las geometrías no euclidianas. El trabajo hasta ahora era en plan buscar información y era un trabajo así como divulgativo. Por casualidades de la vida y por una serie de mal entendidos se ve que he de investigar algo: el ideal sería investigar algo que no haya investigado nadie nunca y sacar conclusiones de ello.

Como digo es un ideal, y yo ya tengo el trabajo casi acabado, la cosa estaría en arreglarlo un poco. Por eso me gustaría que me aconsejáseis algún tema más concreto del que hacer un experimento (supongo que de esto es difícil) o alguna deducción o demostración... teniendo en cuenta la temática del trabajo.

Para guiaros un poco, os pongo los temas que he tratado en el trabajo: geometría elíptica y esférica, geometría hiperbólica (modelos del disco de Poincaré, del semiplano de Poincaré, de Klein y de Lorentz y un poquito de relatividad especial) y geometría del espacio-tiempo (un poquito de relatividad general y un poquito de geometría cuántica, he de tocar un poco de ambos).
Esto sería así por encima, hay algunos apartados más pero no tienen la misma importancia que los anteriores.

A mi se me había ocurrido lo siguiente: escoger algunas figuras geométricas de alguna geometría no euclidiana (o euclidiana ya vale también, no sé cuánto se puede complicar esto) y determinar sus áreas y puede que volúmenes (depende de la dificultad) para unas cuantas dimensiones, por ejemplo de 1 a 5 o de 1 a 10 por decir algun número. La cosa es ver si variando la dimensión una geometría sigue siendo coherente o no, y ver si hay alguna relación que se pueda determinar con el cambio de dimensión.
No sé muy bien si esto es muy difícil o no, por ahora es una idea, si no puedo determinarlo algébricamente metería valores numericos para lados o radios.
Además no sé si a alguien de este mundo se le había ocurrido alguna vez, supongo que sí, y a lo mejor ya está inventado esto, pero me gustaría que me comentaseis la viabilidad de la idea.

Perdón por el tocho, cualquier aportación será de mucha utilidad.

Gracias por adelantado.

[guibix]

Re: Geometrías no euclidianas

el ideal sería investigar algo que no haya investigado nadie nunca y sacar conclusiones de ello.

¡Éste es el ideal de cualquier científico!

Pues sí que te lo ponen difícil, pero creo que con que lo hagas con algo que el profe desconozca... . Lo del tema experimental es lo difícil, porqué plantear situaciones físicas es muy fácil, reproducirlas adecuadamente puede ser infernal.

A nivel teórico, tu propuesta me parece muy buena, solo que no se me ocurre como experimentar con ello. Aunque si estás hablando de geometría, con un buen planteamiento matemático debería ser suficiente. Determinar áreas, volúmenes, etc. de figuras geométricas más o menos elementales en espacios no euclidianos da para bastante trabajo. No es algo original, pero puedes buscar "tres pies al gato".

Así corriendo y de sopetón, se me ocurre que podrías determinar el nivel de optimización área/volumen de figuras geométricas y comprobar como cambian en determinados espacios. A lo mejor hay alguna figura más óptima que otra en un espacio y al revés en otro.

Por ejemplo: sabemos que en un espacio euclidiano $R^3$ la esfera es la figura geométrica que tiene menos área por volumen. Buscamos una manera de determinar una constante adimensional $\eta$ que sea igual todas las figuras del mismo tipo pero de tamaño distinto. Se me ocurre que $\eta=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt[3]{V}}$ valdría. Si aplicas la fórmula a muchas figuras, puedes determinar una escala donde ordenarlas y la esfera debería tener el valor más pequeño de todos.

Si aplicas esto a distintos espacios no euclidianos algunas figuras podrían cambiar su orden en la escala o se podría observar alguna que otra "anomalía" (solo es una sospecha, porqué no tengo ni idea)

También se puede comparar otras dimensiones: $\eta=\dfrac{\sqrt[n]{R^n}}{\sqrt[m]{R^m}}$ con $n<m$ en espacios de mayor dimensión que 3 o includo en figuras bidimensionales comparando área y perímetro.

Y llegando al límite se podría probar con figuras fractales y como evoluciona $\eta$ en cada iteración de un mismo fractal en distintos espacios.

Vaya, que solo con esto se puede hacer mucho trabajo

Se me ocurren otras cosas para hacer, pero tengo que pensarlo antes de plantearlo adecuadamente.

Espero que al menos ayude a darte alguna idea.

Saludos.

[Weip]

Re: Geometrías no euclidianas

Gracias por contestar guibix.

Como comprendrás la notación que se usa habitualmente en geometría no la entiendo mucho porque en el colegio se hace todo lo posible para evitar la notación matemática. Así que déjame preguntarte primero algunas cosillas:

-¿$R^3$ significa un espacio de tres dimensiones?

-¿Qué es el nivel de optimización? Es decir, ¿es un término matemático o he de coger el significado de la propia palabra?

-¿Me podrías por favor decir como has hallado la expresión $\eta=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt[3]{V}}$?

-¿Hay algun motivo (costumbre...) para indicar esa constante como $\eta$?

El trabajo es una investigación, no hace falta experimento así que no te preocupes. El trabajo teórico ya es investigar algo (que además yo encuentro interesante).
Lo de los fractales es que no lo he tratado en el trabajo. Últimamente lo he estado pensando, y no sé si añadirlo. El trabajo no tiene límite de páginas, pero su exposición si, y es muy corto (12 minutos) por lo que solo podría decir cuatro cosillas de cada geometría y no sé como quedará.

Me interesa mucho como has llegado a la expresión que has comentado y su razonamiento, con esto ya tengo investigación (aunque no sea la parte princial del trabajo, me quedará bien).

De nuevo muchas gracias, ya creía que esto estaba perdido.

[guibix]

Re: Geometrías no euclidianas

¿$R^3$ significa un espacio de tres dimensiones?

Sí, significa espacio de dimensión 3 en el conjunto de los reales (de aquí la R).

¿Qué es el nivel de optimización? Es decir, ¿es un término matemático o he de coger el significado de la propia palabra?

Es el significado de la propia palabra. Por ejemplo: la esfera es la figura que con la mínima superficie se consigue encerrar un volumen máximo, por lo que es la figura más óptima en ese sentido.

¿Me podrías por favor decir como has hallado la expresión $\eta=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt[3]{V}}$?

En realidad me lo inventé , pero eso no significa que no exista en alguna parte (ni idea). El tema es que si divides una área por un volumen, el resultado dependerá de la forma de la figura, pero también de su tamaño. Lo que interesa es obtener un número que sea constante para figuras de un mismo tipo, independientemente del tamaño que esas tengan. Se puede hacer de otras maneras como $\dfrac{A^3}{V^2}$, por ejemplo. El truco es convertirlo a un valor adimensional. Si aplicas la formula a cualquier esfera de cualquier tamaño te va a dar un mismo número. El "tamaño" de ése número es arbitrario (depende de la formula que uses), pero el valor que te dé por ejemplo el cubo, será mayor que el de la esfera y menor que el del tetraedro, por decir algunos ejemplos. Eso te permite ordenar todas las figuras geométricas de un mismo número de dimensiones, en una escala de optimización. Claro que optimización en ese contexto significa: menos superficie por más volumen

¿Hay algun motivo (costumbre...) para indicar esa constante como $\eta$?

El nombre me lo he inventado yo porqué desconozco la nomenclatura habitual en esos temas, pero cualquier nombre sirve si se define antes de usarlo y si no es algo que puedas confundir con otra magnitud habitual en el contexto del problema tratado.

Un problema muy típico en este contexto, es el de encontrar el cilindro más óptimo, que la mínima superficie de lata, pueda almacenar el máximo de líquido. Lo que no sé es si se puede o si sirve de algo encontrar el ¿"n-cilindro"? más óptimo en un espacio no euclidiano de dimensión n .

Tampoco digo que hagas esto. Solo pretendo abrir un poco tus posibilidades. La idea de mis comentario es que te inventes lo que quieres averiguar/investigar con un poco de imaginación (buscando tres pies al gato). Si tu, con tu trabajo has aprendido a usar esa geometría, entonces juega con ella, imagina situaciones o cosas que puedas resolver y que al menos "parezcan" originales .

Tu propuesta original es más que válida para sacar material. Se puede buscar en figuras esas n-áreas en espacios de dimensión m. Si una figura es extensible a cualquier número de dimensiones, se puede buscar expresiones generales para la n-área o n-volumen, para no tener que medir en cada dimensión hasta el 10 o más.

En fin, tu mismo. Haz lo que creas más conveniente para tu trabajo. Lo importante es que te ocupe poco tiempo explicarlo y no demasiado tiempo prepararlo.

Ya nos irás contando .

Saludos.

[Weip]

Re: Geometrías no euclidianas

Lo de la fórmula ya me lo pensaba, por eso he preguntado xD. A lo mejor tenias algún motivo para ponerla, no sé.
Viendo que lo que había pensado al principio es viable, haré eso. Solo tengo una duda más: Cuando haces eso de la constante adimensional, ¿el índice de las raíces o el exponente del área o del volumen, depende de la dimensión? ¿El área siempre tendrá una dimensión menos que el volumen? (creo que sí pero es para asegurarme).

[guibix]

Re: Geometrías no euclidianas

Cuando haces eso de la constante adimensional, ¿el índice de las raíces o el exponente del área o del volumen, depende de la dimensión?

Sí, en el caso de las raíces es la dimensión que estás midiendo.

No, en el caso de los exponentes, es de la dimensión del "otro". En el término general queda más claro: $\eta=\dfrac{\sqrt[n]{R^n}}{\sqrt[m]{R^m}}$ o si prefieres, $\eta=\dfrac{(R^n)^m}{(R^m)^n}$. En ambos casos el "truco" consiste en que quede la misma dimensión arriba y abajo.

Lo de poner el área arriba es para considerar la esfera como el mínimo de área por volumen, pero también se puede hacer al revés y considerarla como el máximo de volumen por área. Aunque yo prefiero lo primero

¿El área siempre tendrá una dimensión menos que el volumen? (creo que sí pero es para asegurarme).

Sí, quizás no lo expresé debidamente. Si n>2, una área de dimensión $n$ es lo mismo que un volumen también de dimensión $n$. Ahora bien, si comparamos dos medidas con una dimensión de diferencia, a la mayor le podemos llamar volumen ($R^n$) y a la menor área ($R^{n-1}$).

También puedes comparar las dimensiones que quieras, pero no siempre funciona con esta técnica. Por ejemplo si comparas el volumen de una figura asimétrica 3d con su diámetro ¿qué diámetro elegirás? Es más fácil hacerlo con $0<n=m-1\in N$ y te evitarás esos problemas. Ah, eso sí: las formulas que se usen para encontrar los dos valores, deben basarse en la misma unidad de medida. Si se calcula el área y el volumen de... digamos un cubo, usaremos la longitud $l$ de una arista para ambos cálculos $A=6l^2$ y $V=l^3,$ si queremos que se cancelen las unidades. Si no, tendrás que recurrir a cambios de unidades.

Por otra parte desconozco lo aplicable que es esto a según que geometrías no euclidianas, aunque en euclidianas tiene para rato.

En fin, tu ni caso y lo tuyo que ya tienes suficiente . Y si lo consideras oportuno, nos cuentas como te va yendo.

Saludos.

[Weip]

Re: Geometrías no euclidianas

En la expresión $\eta=\dfrac{(R^n)^m}{(R^m)^n}$ , cuando sustituyes $R$ por un área $A$, ¿la $n$ es el exponente de la $A$ (por tanto $n=1$) o el de la dimensión (por tanto $n=2$)? ¿o es el exponente de la propia expresión (por ejemplo si tiene algun miembro al cuadrado).
Como aún no he empezado no sé si lo voy a hacer, pero en el caso que tenga que trabajar con números complejos, y como $R\subset C$, ¿se podría escrivir $\eta=\dfrac{(C^n)^m}{(C^m)^n}$ , para generalizarlo más? Lo digo por si trabajo con el modelo de Lorentz de geometria hiperbólica, que tengo entendido que trabaja con números complejos.
Otra cosa que quería comentar, si por ejemplo decidiera ordenar las figuras por el resultado de esa constante, tengo el problema que para algunas figuras las unidades se cancelan y me queda un número, y otras me queda una expresión algébrica. ¿Como las ordeno en este caso? ¿Asigno valores arbitrarios (puede que 1) a esas incógnitas (lado, radio o lo que sea)?
Finalmente, ¿un espacio de cuatro dimensioones sería $R^4$, uno de cinco $R^5$ y así sucesivamente? Si lo de los complejos fuera correcto, ¿las dimensiones se presentarían como $C^4$ o la dimensión que sea? Porque ¿$R^2$ representa el área?
Sé que algunas preguntas son un poco tontas pero estas cosas nadie te las enseña, y es lo que supongo cuando veo la notación.

Hoy he presentado la idea y me la han aceptado, así que este fin de semana empezaré. Y por supuesto, te/os mantendré informado/s (gente que lea también el hilo y que le interese).

[guibix]

Re: Geometrías no euclidianas

En la expresión $\eta=\dfrac{(R^n)^m}{(R^m)^n}$ , cuando sustituyes $R$ por un área $A$, ¿la $n$ es el exponente de la $A$ (por tanto $n=1$) o el de la dimensión (por tanto $n=2$)? ¿o es el exponente de la propia expresión (por ejemplo si tiene algun miembro al cuadrado).

Una área de dos dimensiones es $R^2$, por lo que $n=2$ en éste caso. Si buscas el ratio área/volumen queda $\eta=\dfrac{(A)^3}{(V)^2}=\dfrac{(R^2)^3}{(R^3)^2}$.

Como aún no he empezado no sé si lo voy a hacer, pero en el caso que tenga que trabajar con números complejos, y como $R\subset C$, ¿se podría escrivir $\eta=\dfrac{(C^n)^m}{(C^m)^n}$ , para generalizarlo más? Lo digo por si trabajo con el modelo de Lorentz de geometria hiperbólica, que tengo entendido que trabaja con números complejos.

Si lo de los complejos fuera correcto, ¿las dimensiones se presentarían como $C^4$ o la dimensión que sea?

Sí, pero esto ya es un poco más complejo (valga la redundancia ). Como sabes un numero complejo tiene dos dimensiones, entonces si se define como un espacio de Hilbert $C^n$ tienes $n$ dimensiones reales más $n$ imaginarias. El caso de la geometría de Lorentz creo que es $R^3+1$ esto es que hay tres dimensiones euclidianas normales y el tiempo, que se puede tratar como una dimensión imaginaria.

Otra cosa que quería comentar, si por ejemplo decidiera ordenar las figuras por el resultado de esa constante, tengo el problema que para algunas figuras las unidades se cancelan y me queda un número, y otras me queda una expresión algébrica. ¿Como las ordeno en este caso? ¿Asigno valores arbitrarios (puede que 1) a esas incógnitas (lado, radio o lo que sea)?

¿En que casos te encuentras que no se cancelan las unidades y te quedan variables?

Lo primero es que tienen que ser figuras concretas y no parametrizadas. Si digo que tengo una caja de lados a, b y c no podré saber el número porque el ratio varia en cajas de distinta proporción. Tendría que hablar de una caja de dimensiones (por ejemplo) a, 4a, 9a. Su volumen sería $V=36a^3$ y el área $A=98a^2$. Con estos valores se cancelan las unidades y valen para cualquier caja de las mismas dimensiones (las del monolito de 2001 ).

Como dije, se tiene que encontrar la manera de medir las dos magnitudes a partir de la misma unidad.

Como ejemplo, en el caso de la esfera nos basamos en el radio:

$V=\dfrac 4 3 \pi r^3,$

$A=4\pi r^2.$

En el caso de poliedros regulares, nos basamos en la arista:

Como son el cubo,

$V=l^3,$

$A=6l^2$,

el tetraedro,

$V=\dfrac{a^3}{6\sqrt 2},$

$A=\sqrt 3 a^2,$

... etc.

Finalmente, ¿un espacio de cuatro dimensioones sería $R^4$, uno de cinco $R^5$ y así sucesivamente? ..... ¿$R^2$ representa el área?

Sí a todo.

Sé que algunas preguntas son un poco tontas pero estas cosas nadie te las enseña, y es lo que supongo cuando veo la notación.

No hay preguntas tontas. Todos sabemos mucho de alguna cosa y nada de alguna otra. Lo importante es aprender. Y si es necesario, con las preguntas tontas que hagan falta .

Hoy he presentado la idea y me la han aceptado, así que este fin de semana empezaré. Y por supuesto, te/os mantendré informado/s (gente que lea también el hilo y que le interese).

Magnífico!

[Weip]

Re: Geometrías no euclidianas

Entonces, en el modelo de Lorentz, ¿puedo decir que tiene una dimensión $R^3 + C$, siendo $C$ la dimensión del tiempo imaginaria? ¿Entonces $C$ tendría dos dimensiones? ¿Como se representaría?
En cuanto a las unidades, ya no me acuerdo de cuales no se me cancelaban (lo hice en borrador y ya lo he perdido) pero creo que usaba mal la fórmula. De todas formas ya lo he entendido (por cierto, 2001 es un peliculón pendiente de entender, la he visto ya 3 veces y no me entero, creo que me tendré que leer el libro).
Por último, no tengo mucha idea de que es un espacio de Hilbert, he leído lo que pone en la wikipedia pero no estoy seguro.

Gracias guibix.

[guibix]

Re: Geometrías no euclidianas

Entonces, en el modelo de Lorentz, ¿puedo decir que tiene una dimensión $R^3 + C$, siendo $C$ la dimensión del tiempo imaginaria? ¿Entonces $C$ tendría dos dimensiones? ¿Como se representaría?

No, la dimensión no es compleja, es imaginaria. Por esto no puse la $C$. Digamos que es un espacio complejo con tres dimensiones reales y una imaginaria. Aún no he tratado nunca este espacio como complejo, por lo que no puedo ayudar mucho en esto. Pero como el espacio es hiperbólico y como los vectores tienen módulo $|\vec{s}|^2=c^2s_t^2-s_x^2-s_y^2-s_z^2$, entonces todos los puntos fuera del cono de luz tienen módulo imaginario, pero no tengo ni idea de como tratar con ello .

Hay muchas formas de definir espacios, por ejemplo en los llamados hipercomplejos hay los cuaterniones que tienen una dimensión real y tres de imaginarias y otras variedades más.

(por cierto, 2001 es un peliculón pendiente de entender, la he visto ya 3 veces y no me entero, creo que me tendré que leer el libro).

Sin duda, los libros son geniales, pero es en 2010 donde se empieza a entender mejor.

Por último, no tengo mucha idea de que es un espacio de Hilbert, he leído lo que pone en la wikipedia pero no estoy seguro.

Dicho rápido y mal, es una manera de generalizar espacios euclidianos de dimensión $n$ en el cuerpo de los reales o complejos, incluso cuando $n\to\infty$

[Weip]

Re: Geometrías no euclidianas

Pensaba que complejo es lo mismo que imaginario, o así lo pone en mi libro de matemáticas.
No creo que use los números complejos en mi investigación pero es bueno saberlo por si acaso.
Supongo que no está a mi alcance el entender bien qué es un espacio de Hilbert, pero gracias a ti ya tengo una idea.

Ahora me ha surgido una duda que puede que sepas: la geometria hiperbólica tiene una cierta curvatura, así como la elíptica. He visto que la curvatura puede ser positiva, negativa o nula. En el caso de que no sea nula, ¿la curvatura es $\pm 1$?

PD: Siento no haber respondido antes, estoy de exámenes y no me dejan ni un respiro.

Edito: Me han surgido unas dudas mientras estaba haciendo el trabajo:

1-Para representar el conjunto de los reales en una ecuación, ¿puedo usar de la R formado por dos líneas (me refiero a la típica R de los libros de texto como ocnjunto de los reales)?

2-¿Hay alguna forma de determinar el área y el volumen de una figura en una determinada dimensión a partir de su fórmula para dimensiones inferiores? Es que en algunas geometrías es difícil encontrar las fórmulas para dimensiones superiores a 4. Si no logro encontrar alguna, ¿considero la R? Pero entonces la constante adimensional queda 1.

3-Aún no lo he probado, pero hay áreas que contienen ángulos. En el caso de que no se cancelasen, ¿qué hago?
Saludos!

[Weip]

Re: Geometrías no euclidianas

Perdón por el doble-post, pero necesito ayuda:

He acabado la parte euclidiana del trabajo, y ahora me toca buscar las áreas y los volumenes de algunas figuras de la geometría hiperbólica. El problema está en el área del triangulo hiperbólico ($A=\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$). Tengo ángulos, y no sé si se cancelarán al dividir por el volumen. Otro problema que tengo es que no encuentro el volumen de un tetraedro hiperbólico. He leído en una página que es el mismo volumen que en la geometría euclidiana, pero lo dudo, porque los espacios no son los mismos. Agradecería que alguien me ayudara con una fórmula general para varias dimensiones.

Otra cosa, si yo en geometría hiperbólica tengo un triángulo, ¿cuantas dimensiones tiene el triángulo? El espacio hiperbólico tiene 4, por eso lo pregunto, porque yo lo puedo representar como un triángulo en dos dimensiones, pero no creo que sea así la cosa.

En calcular una constante adimensional para un triangulo, me queda en función de la altura (El perímetro de un triangulo no depende de la altura). Para ordenar todo después, ¿supongo que la altura es 1? ¿o lo dejo en función de la altura?

Por último, ¿tiene sentido trabajar en una geometría esférica de 4 dimensiones? me lo pregunto porque entonces la geometría deja de ser esférica.

Gracias por adelantado.

[guibix]

Re: Geometrías no euclidianas

¡Ostras Weip, se me pasó tu último post!

Pensaba que complejo es lo mismo que imaginario, o así lo pone en mi libro de matemáticas.

Técnicamente los imaginarios y los complejos no son lo mismo, aunque en algunos libros no se remarque la diferencia. Por ejemplo, cualquier número real es asimismo complejo, pero no imaginario. Como dije, los números imaginarios son la componente imaginaria del plano complejo, el cual también incluye la componente de todos los reales. Dicho de otra forma, el plano de los números complejos consta de una componente real (un número) y otra de imaginaria (un número multiplicando a la unidad imaginaria $i$).

Ahora me ha surgido una duda que puede que sepas: la geometria hiperbólica tiene una cierta curvatura, así como la elíptica. He visto que la curvatura puede ser positiva, negativa o nula. En el caso de que no sea nula, ¿la curvatura es $\pm 1$?

Puedes imaginar una superfície hiperbólica, la superficie de un toroide de 3 dimensiones (un donut). La curvatura depende del sistema de coordenadas y de cada punto de la superfície. Si ponemos las coordenada de tal manera que el eje $x$ es el perímetro del círculo pequeño (el generador), con el 0 en la parte más interior del toro y va de a $2\pi$ y el eje $y$ es el perímetro del círculo grande (el de revolución), entonces $x$ siempre tiene una curvatura positiva e $y$ tiene curvatura positiva en círculo exterior del "donut", negativa en el círculo interior y nula en los círculos de en "medio" (uno arriba y otro abajo). O sea que la curvatura en el eje $y$ depende de la posición en $x$.: negativa para $x=0,$ positiva para $x=\pi$ y nula para $x=\pm\frac{\pi}{2}$

En el caso de un tercer eje $z$ en la hiper-superficie de un toroide 4D, no estoy seguro, pero si se extiende la figura por revolución de otro círculo, entonces creo que la curvatura varía con las coordenadas como en el eje $y$, pero también podría ser una esfera en revolución. En todo caso no estoy para nada seguro con lo que pasa con un toro 4D ni como es.

1-Para representar el conjunto de los reales en una ecuación, ¿puedo usar de la R formado por dos líneas (me refiero a la típica R de los libros de texto como ocnjunto de los reales)?

Sí, de hecho ése símbolo sólo tiene el significado de representar el conjunto de los reales y no se puede confundir con nada más. Es lo mejor para la notación.

2-¿Hay alguna forma de determinar el área y el volumen de una figura en una determinada dimensión a partir de su fórmula para dimensiones inferiores? Es que en algunas geometrías es difícil encontrar las fórmulas para dimensiones superiores a 4. Si no logro encontrar alguna, ¿considero la R? Pero entonces la constante adimensional queda 1.

Sé que para algunas figuras como la esfera existen métodos para calcular sus características en n dimensiones euclidianas, pero no tengo ni idea de nada más y menos en espacios no euclidianos que los valores pueden depender de las coordenadas dentro la geometría. Para el caso que no se cancelen las unidades debería saber más, ya que en teoría si se aplica la formulilla todas las unidades deberían cancelarse.

3-Aún no lo he probado, pero hay áreas que contienen ángulos. En el caso de que no se cancelasen, ¿qué hago?
Saludos!

No entiendo lo que quieres decir. ¿Áreas que contienen ángulos que deben cancelase?

Otra cosa, si yo en geometría hiperbólica tengo un triángulo, ¿cuantas dimensiones tiene el triángulo? El espacio hiperbólico tiene 4, por eso lo pregunto, porque yo lo puedo representar como un triángulo en dos dimensiones, pero no creo que sea así la cosa.

Un triángulo siempre es un triángulo (tres ángulos) y siempre está contenido en un plano de dos dimensiones, aunque ése plano puede estar contenido en un espacio de cualquiera dimensión superior a dos. El triángulo de tres dimensiones sería el tetraedro.

En calcular una constante adimensional para un triangulo, me queda en función de la altura (El perímetro de un triangulo no depende de la altura). Para ordenar todo después, ¿supongo que la altura es 1? ¿o lo dejo en función de la altura?

Lo importante es usar la misma unidad de medida para todos los cálculos. En este caso yo buscaría las expresiones en función de la altura o la base. Si es un triángulo irregular, además se tiene que expresar en función de los ángulos (con dos basta). Cómo los ángulos son adimensionales deberían cancelase las unidades. También se pueden usar los tres lados, expresando dos de ellos en función del tercero. Para generalizar cualquier triángulo, puedes usar parámetros adimensionales: si tengo un lado $l$, se puede expresar los dos otros lados como $al$ y $bl$. Las $l$ deberían cancelarse pero los parámetros no.

Por último, ¿tiene sentido trabajar en una geometría esférica de 4 dimensiones? me lo pregunto porque entonces la geometría deja de ser esférica.

¿Cómo una cosa puede dejar de ser lo que es por el echo de serlo? Lo que se puede hacer es estudiar es la hiper-superficie de tres dimensiones de una esfera de cuatro dimensiones.

Respecto a todo lo de más, siento no poder ayudar demasiado ya que esto supera mis conocimientos, pero creo que el espacio de Minkowski, no es un espacio "100%" hiperbólico. Digamos que solo la componente temporal es hiperbólica. De hecho creo que se considera un espacio pseudo-euclídeo con la pseudo-norma que puse más arriba. Dado el signo negativo de la pseudo-norma, no todos los vectores del espacio Minkowski retornan un valor real, pues si la componente temporal es menor que el módulo euclidiano de las tres componentes espaciales, entonces el módulo del vector resultante es imaginario puro (no tiene componente real).

Con todo esto y referente al triángulo, no es lo mismo tener un triángulo en un plano de las componentes espaciales, que tenerlo en un plano de una componente espacial y otra temporal y de ser así, la disposición del triángulo podría tener efectos diversos, tales como que algunas aristas y/o vértices tendrían longitudes y/o posiciones imaginarias (o eso me parece a mí).

En definitiva creo que lo más sensato para ése caso es tratar un espacio hiperbólico que sea una hiper-superficie de 3 dimensiones de un hiper-toroide de 4 dimensiones porque el espacio Minkowski puede ser un quebradero de cabeza (al menos para mí). Pero como dije, yo ya no llego más allá que eso y podría estar equivocado. No te iría mal otra opinión que desmienta o corrobore lo que digo.

Saludos.

[Weip]

Re: Geometrías no euclidianas

¡Ostras Weip, se me pasó tu último post!
Saludos.

No te preocupes, entonces no era urgente.

Sé que para algunas figuras como la esfera existen métodos para calcular sus características en n dimensiones euclidianas, pero no tengo ni idea de nada más y menos en espacios no euclidianos que los valores pueden depender de las coordenadas dentro la geometría. Para el caso que no se cancelen las unidades debería saber más, ya que en teoría si se aplica la formulilla todas las unidades deberían cancelarse.
Saludos.

Yo también tengo conocimiento de la expresión de las esferas, por eso preguntaba (a lo mejor cada figura tiene una expresión asociada del estilo). Bueno ya me buscaré la vida.

No entiendo lo que quieres decir. ¿Áreas que contienen ángulos que deben cancelase?
Saludos.

Me refiero por ejemplo al área del triangulo hiperbólico: $A=\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$. $\alpha\beta\gamma$ son ángulos, y no sé si se cancelaran (supongo que sí) porque no sé la expersión del volumen. En este caso área y volumen son lo mismo para dos dimensiones, pero lo pregunto por si me pasa más adelante, hay que ser previsor (y viendo en el mensaje de hace unas semanas, todas mis dudas se han hecho realidad).

Lo importante es usar la misma unidad de medida para todos los cálculos. En este caso yo buscaría las expresiones en función de la altura o la base. Si es un triángulo irregular, además se tiene que expresar en función de los ángulos (con dos basta). Cómo los ángulos son adimensionales deberían cancelase las unidades. También se pueden usar los tres lados, expresando dos de ellos en función del tercero. Para generalizar cualquier triángulo, puedes usar parámetros adimensionales: si tengo un lado $l$, se puede expresar los dos otros lados como $al$ y $bl$. Las $l$ deberían cancelarse pero los parámetros no.
Saludos.

Yo tenia la idea de representar en una gráfica los valores de la constante adimensional (y así ver las posibles incoherencias a partir de una determinada dimensión), pero si lo dejo en función de la altura o la base me será difícil ordenarlos. ¿Alguna idea?
Es que hasta ahora, en la parte euclídea del proceso, solo me había planteado el caso de n-cubos en los que la constante es siempre un número, pero después caí que cuadrados propiamente dichos (con cuatro ángulos rectos) no existen en la geometría hiperbólica, y por eso me he pasado a los n-triángulos, pero me encuentro con este problema.

¿Cómo una cosa puede dejar de ser lo que es por el echo de serlo? Lo que se puede hacer es estudiar es la hiper-superficie de tres dimensiones de una esfera de cuatro dimensiones.
Saludos.

Sí eso también lo había pensado, aunque puede que haga solo geometría hiperbólica porque se me está alargando la cosa.
Por cierto, hecho con h, supongo que te has despistado (creo vamos, ahora voy a quedar mal y todo xD).

Respecto a todo lo de más, siento no poder ayudar demasiado ya que esto supera mis conocimientos, pero creo que el espacio de Minkowski, no es un espacio "100%" hiperbólico. Digamos que solo la componente temporal es hiperbólica. De hecho creo que se considera un espacio pseudo-euclídeo con la pseudo-norma que puse más arriba. Dado el signo negativo de la pseudo-norma, no todos los vectores del espacio Minkowski retornan un valor real, pues si la componente temporal es menor que el módulo euclidiano de las tres componentes espaciales, entonces el módulo del vector resultante es imaginario puro (no tiene componente real).

Con todo esto y referente al triángulo, no es lo mismo tener un triángulo en un plano de las componentes espaciales, que tenerlo en un plano de una componente espacial y otra temporal y de ser así, la disposición del triángulo podría tener efectos diversos, tales como que algunas aristas y/o vértices tendrían longitudes y/o posiciones imaginarias (o eso me parece a mí).

En definitiva creo que lo más sensato para ése caso es tratar un espacio hiperbólico que sea una hiper-superficie de 3 dimensiones de un hiper-toroide de 4 dimensiones porque el espacio Minkowski puede ser un quebradero de cabeza (al menos para mí). Pero como dije, yo ya no llego más allá que eso y podría estar equivocado. No te iría mal otra opinión que desmienta o corrobore lo que digo.
Saludos.

Respecto a tu último párrafo, yo he leído lo mismo que tú me dices del espacio de Minkowski. La duda que yo tengo es qué hacer, si considerar la cuarta dimensión como espacial o como temporal. Según he leído como lo estoy haciendo ahora en geometría euclídea la estoy considerando temporal, pero tampoco veo la diferencia si yo la considero espacial. ¿Este tipo de espacio lo he de tener en cuenta en la geometría hiperbólica? Es que prefiero quedarme en el modelo del disco de Poincaré para no complicarme aún más. Pero ahora me entra la duda si en toda la geometría entraría en acción el espacio de Minkowski. Físicamente sí, eso lo tengo claro, pero con tanto lío ya me he confundido.

Tu última sugerencia suena bien pero necesito meditar bien lo del toroide, porque ponerlo como una dimensión más y imaginando eso para tres dimensiones ya me cuesta de pensar.

Finalmente agradecerte todo lo que estás haciendo por mí y por este trabajo, cada vez que le pregunto algo a mi tutora del trabajo me dice que haga lo que crea conveniente o que lo necesita consultar, para luego nunca contestarme.

Y por supuesto todo el que pueda y tenga ganas de gastar un poco de su tiempo en mí bienvenido sea, esta vez con esta parte práctica estoy en un aprieto.

Edito: Ahora me he encontrado con una cosa que no sé si soy yo o qué pero no sé aplicar la fórmula de la constante adimensional: yo tengo un triangulo euclidiano, y quiero relacionar su pérímetro con su área. Su perímetro es $3a$, siendo $a$ uno de sus lados (los tres son iguales) y su área $\frac{1}{2}ah$, siendo $a$ la base y $h$ la altura. Claro, yo estoy en dos dimensiones, y por tanto debería elevar las dos expresiones al cuadrado y luego dividir, por lo que me quedaría $\frac{36}{h^2}$. Pero también veo que tanto el perímetro como el área no necesitan elevarse al cuadrdo puesto que los lados son unidimensionales, y la altura está elevada a 1. Si no considero los cuadrados y divido, me quedaría $\frac{6}{h}$. Como he de dejar la constante en función de la altura, no sé cual de las dos coger...

[Weip]

Re: Geometrías no euclidianas

¿Ninguna idea? Es que la constante ahora para los triagulos pierde un poco el sentido, elevar al cuadrado por ejemplo lo único que hace es variar mi resultado final pero yo no le veo la diferencia de no elevar al cuadrado. Ahora sí que me he metido en un callejón sin salida.