Secundaria Pasar ecuación paramétrica a general

[catafracta1]

Hola, soy nueva en este foro y quiero presentarme. Me llamo Sara y estoy en una residencia de estudiantes estudiando en las Salesianes. Me estoy sacando el bachiller científico y necesito ayuda.
La pregunta que os quiero hacer es:
¿Cómo se pasa una ecuación paramétrica a general en el espacio de 3D?
Lo que he leído es:

paramétrica
x=p1+kv1
y=p2+kv2
z=p3+kv3

general
Ax+By+Cz+D=0
A'x+B'y+C'z+D'=0

en la ecuación paramétrica:
(x+2)/5 = (y-1)/2 = z

como se pasaría a la general?

Lo pregunto porque lo que me preguntan es:
Calculad el ángulo que forman las rectas r y s

r: (x+2)/5 = (y+1)/2 = z

s: x+y+2z=3
x-y-z=1

La fórmula del coseno para saber el ángulo me la se jiji que lista soy

Si me lo podríais resolver despacio y detalladamente os lo agradecería porque en clase el profesor lo hace muy rápido y no me entero. Gracias chicos!!!

[angel relativamente]

Re: Pasar ecuación paramétrica a general

Hola Sara. Fíjate que en la triple igualdad que tienes (esa forma de dar la recta recuerdo que se llama contínua y no paramétrica):

$\dfrac{x+2}5 =\dfrac{y-1}2=z$

Puedes hacer igualaciones dos a dos, por ejemplo:

$\dfrac{x+2}5 =z \quad \text{y} \quad \dfrac{y-1}2=z$

De donde es inmediato ver que podemos colocarlo de la forma:

$x-5z+2=0$
$y-2z-1=0$

Que es la ecuación general o implícita de la recta.

Saludos,

[catafracta1]

Re: Pasar ecuación paramétrica a general

Ah vale. Y para la fórmula del cos era:

cos&=|u.v|/|u|.|v|
pero que hay que poner en el numerador y en el denominador?

Tampoco se muy bien como resolver otras preguntas en las que tenemos 2 rectas las cuales constan de 2 ecuaciones cada una. Es posible de la recta que me has pasado a general tenga una sola ecuación?
gracias

[angel relativamente]

Re: Pasar ecuación paramétrica a general

No te aprendas la fórmula así. Tienes que la definición del producto escalar de dos vectores u y v es:

$u\cdot v=\left\vert{} u \right\vert{} \cdot \left\vert{} v \right\vert{} \cdot \cos \alpha$

De donde despejando el coseno tienes la ecuación que pones (lo de ponerle valor absoluto al producto escalar, tal como haces, es para imponer que el ángulo sea el menor, porque entre dos rectas que se cortan siempre se forman dos ángulos). En este caso, u y v son los vectores directores de las rectas r y s. Supongo que sabrás calcular el producto escalar entre dos vectores y el módulo de los vectores, ¿no?

Es posible de la recta que me has pasado a general tenga una sola ecuación?

No si estamos en un espacio de dimensión 3. Siempre vas a tener una ecuación menos que dimensiones, para que solo haya un grado de indeterminación. Si estamos en dimensión 3 y damos una sola ecuación general, no se tratará de una recta sino de un plano, ya que tiene dos grados de indeterminación.

Saludos,

[catafracta1]

Re: Pasar ecuación paramétrica a general

Si, osea donde pone: |u|.|v| que hay que poner la raíz cuadrada de u por la raíz cuadrada de v?

[Weip]

Re: Pasar ecuación paramétrica a general

Como te dice Ángel, mejor usa el producto escalar para despejar el coseno. Lo que preguntas creo que tienes una idea un poquillo errónea. El módulo de u por el módulo de v no es la raíz de u por la raíz de v si no la raíz del cuadrado de la suma de las componentes de u por la raíz del cuadrado de la suma de las componenets de v. Es decir, $\sqrt{{u_1}^{2}+{u_2}^{2}+{u_3}^{2}}$ para el caso de u.

Espero haberte ayudado.