Secundaria Pregunta de planos

[catafracta1]

Tengo una pregunta de planos para angel jiji que me cuida mucho.
De/erminad la posición relativa de las rectas siguientes:
r=(2,1,3)+k(2,-1,1)
r=(-1,-1,4)+k(1,3,-2)

Las paso a contínuas:

r=(x-2)/2=(y-1)/-1=(z-3)/1
r'=(x+1)/1=(y+1)/3=(z-4)/-2

Y no se como pasarlas a general o implícita
Porque en la otra teníamos que z estaba solita y ahora esta con (z-3)/1

[Weip]

Re: Pregunta de planos

No hace falta que las pases a contínuas, si los vectores directores son proporcionales las rectas serán paralelas (si no cumple la igualdad) o coincidentes (si cumple la ecuación). Si no son proporcionales, serán secantes (si son linalmente dependientes) o bien cruzadas (si son linelamente independientes).
Para ello encuentra k y observa si los vectores directores son proporcionales o no, a partir de ahí el ejercicio ya sale solo.

Espero haberte ayudado.

[[Beto]]

Re: Pregunta de planos

Hola, no iba a contestar porque era para angel

¿Implícitas quiere decir dependientes de un parámetro? ... Si es así bastaría con hacer $x=t$ y luego de cada una de las ecuaciones despejar $y$ y $z$, de modo que tendrías la ecuación del plano $(x(t)=t,y(t),z(t))$

[Weip]

Re: Pregunta de planos

Hola, no iba a contestar porque era para angel

¿Implícitas quiere decir dependientes de un parámetro? ... Si es así bastaría con hacer $x=t$ y luego de cada una de las ecuaciones despejar $y$ y $z$, de modo que tendrías la ecuación del plano $(x(t)=t,y(t),z(t))$

Con implícitas se refiere a la ecuación general o cartesiana de la forma: Ax+By+Cz+D=0. Creo, porque estas también se llaman implícitas. De todas formas a la implícita se puede llegar por el camino que has marcado y después hacer un deteminante.
Bueno esto es cuando trabajamos con planos, porque el ejercicio pide la posición relativa de dos rectas. Con rectas basta con coger dos miembros de los tres que tiene la ecuación contínua y multiplicar en cruz (por ejemplo cogemos el miembro de la $x$ y el de la $y$ y luego el de la $x$ y el de la $z$). Con esto se obtienen dos ecuaciones, las agrupamos en forma de sistema y ya tenemos la implícita.

[angel relativamente]

Re: Pregunta de planos

La forma más simple de resolverlo tal como te dan las rectas es la que dice Weip. Ves que (2,-1,1) y (1,3,-2) son los vectores directores de ambas rectas, así que basta estudiar la posición relativa entre ambos vectores.

¿Implícitas quiere decir dependientes de un parámetro?

No, eso es paramétrica. Implícita es que tienes todas las variables a un lado, y generalmente se da de la forma $Ax+By+Cz +D=0$ (creo que también puede estar el término independiente en el otro miembro).

Y no se como pasarlas a general o implícita
Porque en la otra teníamos que z estaba solita y ahora esta con (z-3)/1

Como hemos dicho no es lo más adecuado en este ejercicio, porque lo haces más largo. No obstante, creo que ya es hora de que aprendas un método general para pasar de continuas a implícita. Si tienes:

$\dfrac{x-2}2=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$

De nuevo tienes una triple igualdad, por lo que podemos hacer igualdades dos a dos:

$\dfrac{x-2}2=\dfrac{y-1}{-1}$
$\dfrac{x-2}2=\dfrac{z-3}{1}$

Ahora es solo usar un poco de álgebra barata para recolocarlo. Por ejemplo, si en la primera ecuación multiplicas por -2 ambos miembros obtienes:

$-x+2=2y-2$

Que es equivalente a $x+2y-4=0$. Con la segunda ecuación haces lo mismo y has de llegar a $x-2z+4=0$. Ya tienes las dos ecuaciones implícitas que determinan inequívocamente la recta r. Quizá te hayas dado cuenta que en la triple igualdad hemos hecho dos igualdades, pero ha habido una que no hemos hecho, que es: $\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$. No la hemos hecho porque solo hace falta hacer dos, pero da absolutamente igual cuáles sean esas dos. Y te preguntarás, ¿entonces podemos obtener ecuaciones distintas?, pues sí. Pero ambas formas de darla serán equivalentes (o, en otras palabras, el sistema formado por ambas ecuaciones tendrá las mismas soluciones). Y espero no haberte liado más con esto

Saludos,

PD: Se me adelantó Weip

[[Beto]]

Re: Pregunta de planos

No, eso es paramétrica. Implícita es que tienes todas las variables a un lado, y generalmente se da de la forma $Ax+By+Cz +D=0$ (creo que también puede estar el término independiente en el otro miembro).

Ah bueno, yo siempre tengo problemas con esos nombresitos

[catafracta1]

Re: Pregunta de planos

La forma más simple de resolverlo tal como te dan las rectas es la que dice Weip. Ves que (2,-1,1) y (1,3,-2) son los vectores directores de ambas rectas, así que basta estudiar la posición relativa entre ambos vectores.



No, eso es paramétrica. Implícita es que tienes todas las variables a un lado, y generalmente se da de la forma $Ax+By+Cz +D=0$ (creo que también puede estar el término independiente en el otro miembro).



Como hemos dicho no es lo más adecuado en este ejercicio, porque lo haces más largo. No obstante, creo que ya es hora de que aprendas un método general para pasar de continuas a implícita. Si tienes:

$\dfrac{x-2}2=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$

De nuevo tienes una triple igualdad, por lo que podemos hacer igualdades dos a dos:

$\dfrac{x-2}2=\dfrac{y-1}{-1}$
$\dfrac{x-2}2=\dfrac{z-3}{1}$

Ahora es solo usar un poco de álgebra barata para recolocarlo. Por ejemplo, si en la primera ecuación multiplicas por -2 ambos miembros obtienes:

$-x+2=2y-2$

Que es equivalente a $x+2y-4=0$. Con la segunda ecuación haces lo mismo y has de llegar a $x-2z+4=0$. Ya tienes las dos ecuaciones implícitas que determinan inequívocamente la recta r. Quizá te hayas dado cuenta que en la triple igualdad hemos hecho dos igualdades, pero ha habido una que no hemos hecho, que es: $\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$. No la hemos hecho porque solo hace falta hacer dos, pero da absolutamente igual cuáles sean esas dos. Y te preguntarás, ¿entonces podemos obtener ecuaciones distintas?, pues sí. Pero ambas formas de darla serán equivalentes (o, en otras palabras, el sistema formado por ambas ecuaciones tendrá las mismas soluciones). Y espero no haberte liado más con esto

Saludos,

PD: Se me adelantó Weip

pero una preguntilla... en la que has pasado a general no hay que poner z también??
lo he multiplicado por -2 y me da: 0=x+2y-3
es un fallo tuyo?

[Weip]

Re: Pregunta de planos

catafracta1, debes haber calculado mal porque si multiplicas por -2 da lo que ha puesto Ángel. Te pongo todo el paso: $-2\frac{(x-2)}{2}=-2\frac{(y-1)}{-1}$; $\frac{-2x+4}{2}=\frac{-2y+2}{-1}$; ahora dividimos:$-x+2=2y-2$; y ya está.
La $z$ también se pone, si vuelves a leer el mensaje fíjate que Ángel ya te lo ha indicado en la segunda ecuación: $x-2z+4=0$. Así ya tienes las dos ecuaciones que necesitas.
Si tu pregunta era porque no sale en la otra ecuación, sencillamente porque no hace falta para conseguir esa ecuación.