1r ciclo Utilidad de los espacios vectoriales

[Julián]

¿Cuál es la utilidad de los espacios vectoriales? es decir, el porque de la definición $(A,+,.)$ sobre un cuerpo $K$, donde $A$ es un conjunto no vacio. Si de todas las posibles estructuras algebraicas que son posibles definir o utilizar, en particular se utiliza un conjunto relacionado por las operaciones de cierra de suma y multiplicación por un escalar, además de la existencia del elemento neutro aditivo que pertenece a $A$, la existencia del inverso aditivo, el inverso multiplicativo y el neutro para la multiplicación.

Además en física y en ciencias en general hay muchas funciones que no continen al elemento neutro aditivo, por ejemplo. Como sería el caso del conjunto de velocidades de un fluido, lo que es llamado campo vectorial pero si ese campo no contiene al elemento neutro aditivo no es un espacio vectorial

saludos.

[arivasm]

Re: Utilidad de los espacios vectoriales

¡Amigo Julián! ¡Menuda pregunta! Quítale a la Física los espacios vectoriales y (exagerando) la vuelves a la Edad de piedra!

¿Cómo que las velocidades de un fluido no contienen al elemento neutro aditivo? ¡Es el vector nulo!, es decir, la velocidad de una porción del fluido que está en reposo!

Y una cosa más: los espacios vectoriales no incluyen un inverso multiplicativo, porque la operación de multiplicación no es interna, sino que implica a un elemento del espacio vectorial y uno del cuerpo asociado.

[Julián]

Re: Utilidad de los espacios vectoriales

¿Cómo que las velocidades de un fluido no contienen al elemento neutro aditivo? ¡Es el vector nulo!, es decir, la velocidad de una porción del fluido que está en reposo!

Si tienes razón pero a lo que me refería es en el caso de un fluido en particular en el que no se de que exista en ese campo el vector nulo. Pero ahora veo que en el análisis se puede dar la existencia del vector el elemento neutro. ¿es así no?

Y una cosa más: los espacios vectoriales no incluyen un inverso multiplicativo, porque la operación de multiplicación no es interna, sino que implica a un elemento del espacio vectorial y uno del cuerpo asociado.

ah claro eso se debe a que los espacio vectoriales no son grupos abelianos en donde si se tiene que dar para todas las operaciones un inverso. ¿no?

¡Amigo Julián! ¡Menuda pregunta! Quítale a la Física los espacios vectoriales y (exagerando) la vuelves a la Edad de piedra!

Es como que si la clasificación de espacio vectorial abarca más o es más general que las funciones, relaciones, n-tuplas, etc. Esa clasificación (de espacio vectorial por supuesto) es o está hecha de una manera de relacionar las funciones, n-tuplas, etc.

[arivasm]

Re: Utilidad de los espacios vectoriales

Si tienes razón pero a lo que me refería es en el caso de un fluido en particular en el que no se de que exista en ese campo el vector nulo. Pero ahora veo que en el análisis se puede dar la existencia del vector el elemento neutro. ¿es así no?

Claro. Si no sería parecido a que alguien dijese "¿para qué vale el número 7 a la hora de contar dinero, teniendo en cuenta que no tengo 7 euros en mi cartera?"

eso se debe a que los espacio vectoriales no son grupos abelianos en donde si se tiene que dar para todas las operaciones un inverso. ¿no?

Ciertamente los espacios vectoriales y los grupos (abelianos o no) son estructuras matemáticas bien diferentes.

Es como que si la clasificación de espacio vectorial abarca más o es más general que las funciones, relaciones, n-tuplas, etc. Esa clasificación (de espacio vectorial por supuesto) es o está hecha de una manera de relacionar las funciones, n-tuplas, etc.

Sí, es una entidad más abstracta que incluye como casos particulares los que citas.

[Julián]

Re: Utilidad de los espacios vectoriales

Ciertamente los espacios vectoriales y los grupos (abelianos o no) son estructuras matemáticas bien diferentes.

Los grupos vectoriales están definidos con las operaciones suma y multiplicación por un elemento de un cuerpo $k$. Pero en la operación suma cumplen con todos los requisitos de un grupo abeliano, lo que lo diferencia es la multiplicación por un elemento externo. no?

saludos.

[pod]

Re: Utilidad de los espacios vectoriales

En mi humilde opinión, la gran importancia de los espacios vectoriales en Física no es tanto la gran utilidad que tienen para describir el estado de los sistemas físicos (no sólo en posiciones, velocidades y otras magnitudes clásicas, sino también los estados cuánticos son elementos de espacios vectoriales). Si, es muy interesante que muchas magnitudes físicas puedan ser descritas con el formalismo de los e.v. Pero, como digo, no es lo más importante.

Para mi, lo más importante es la relación que los e.v. tienen con la teoría de grupos. Los grupos son herramientas tremendamente poderosas que nos permiten describir las transformaciones que sufren las cantidades físicas que vienen descritas como vectores. El caso es que las teorías modernas se formulan directamente a partir de decir cuales de estas transformaciones deben dejar intacta la física. Igual que decir "cuerpo que queda invariante al aplicarle cualquier rotación" define de forma unívoca una esfera, la electrodinámica cuántica queda unívocamente definida al decir "una teoría cuántica de campos de spin 1/2 que queda invariante ante cualquier transformación del grupo U(1)". O las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial, vienen definidas por el grupo que deja invariante la métrica de Minkowski.

[arivasm]

Re: Utilidad de los espacios vectoriales

Los grupos vectoriales están definidos con las operaciones suma y multiplicación por un elemento de un cuerpo $k$. Pero en la operación suma cumplen con todos los requisitos de un grupo abeliano, lo que lo diferencia es la multiplicación por un elemento externo. no?

Correcto.

[Julián]

Re: Utilidad de los espacios vectoriales

¿Un espacio vectorial no es un grupo? ya que la ley de composición interna solamente se aplica para la operación suma. Para ser grupo tendría que aplicarse también a la multiplicación. eso es lo que me parece.


saludos.

[arivasm]

Re: Utilidad de los espacios vectoriales

Creo que confundes grupo (una operación interna) con cuerpo (dos operaciones internas). Un espacio vectorial tiene definida al menos una operación interna y una externa.

[Julián]

Re: Utilidad de los espacios vectoriales

ah no tenía idea que la distinción entre grupo y cuerpos es la cantidad de operaciones aplicables al conjunto. Ya que en wikipedia, para estructuras algebraicas.

[FONT=sans-serif]Las estructuras algebraicas se clasifican según las propiedades que cumplen las operaciones sobre el conjunto dado.[/FONT]

¿como sería entonces? ¿la clasificación depende de las propiedades que cumplen las operaciones o la cantidad de operaciones aplicables al conjunto?

Porque por ejemplo los axiomas de las propiedades de las operaciones de grupo son:

1)Ley de composición interna.
2)Asociatividad.
3)Existencia de elemento neutro.
4)Existencia de elemento simétrico.

si el grupo es abeliano:

5)Conmutatividad.

Los axiomas de cuerpo algebraico son:

1)Ley de cerradura para la adición y multiplicación
2)Existencia de elemento neutro (para multiplicación y adición)
3)Existencia del elemento simétrico (para la multiplicación y adición)
4)Asociatividad de la multiplicación y adición
5)Conmutatividad de la adición
6)Distributiva de la multiplicación respecto a la adición

Por lo que los cuerpos algebraicos poseen un axioma más y esto es debido a que tienen una operación interna mas.

saludos.

[arivasm]

Re: Utilidad de los espacios vectoriales

Digamos que un cuerpo es un grupo abeliano que satisface más condiciones, entre las cuales se encuentra la de tener definida una segunda operación interna (multiplicación) que cumple los axiomas que señalas. Un espacio vectorial es también un grupo abeliano que satisface más condiciones que las estrictamente necesarias para grupo y que incluyen la operación externa.

[Julián]

Re: Utilidad de los espacios vectoriales

gracias