1r ciclo Descomposición de un vector en dos vectores.

[gdonoso94]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que no consigo resolver (no lo voy a copiar entero, sólo lo que no entiendo. Tampoco voy a utilizar LATEX, me da realmente pereza xD)

Se considera la suma directa de dos subespacios igual a R³ y los subespacios son V=<v1>, W=<v2,v3>. A partir de la descomposición del vector x=x1+x2, en la suma anterior se define la aplicación lineal[...]

Mi duda en el problema es ver esa descomposición, no entiendo qué quiere decir con ello.
He pensado que x1=c1*v1; x2=c2*v2+c3*v3. ¿Es así?

Un saludo!

[pod]

Re: Descomposición de un vector en dos vectores.

Hola, tengo el siguiente ejercicio que no consigo resolver (no lo voy a copiar entero, sólo lo que no entiendo. Tampoco voy a utilizar LATEX, me da realmente pereza xD)

Se considera la suma directa de dos subespacios igual a R³ y los subespacios son V=<v1>, W=<v2,v3>. A partir de la descomposición del vector x=x1+x2, en la suma anterior se define la aplicación lineal[...]

Mi duda en el problema es ver esa descomposición, no entiendo qué quiere decir con ello.
He pensado que x1=c1*v1; x2=c2*v2+c3*v3. ¿Es así?

Un saludo!

¿Qué son c1, c2, c3, x1 y x2?

[angel relativamente]

Re: Descomposición de un vector en dos vectores.

Si un espacio vectorial $V$es suma de dos $V_1, V_2$, quiere decir que todo vector de $V$ puede poner como suma de un vector de $V_1$ y otro de $V_2$. Si además la suma es directa, tienes que cada vector de $V$ se puede expresar DE MANERA ÚNICA como suma de vectores de $V_1$ y $V_2$. Si tu vector $x=x_1+x_2$ es un vector de $\mathbb{R}^3$, los vectores $x_1$ de $V$ y $x_2$ de $W$ quedan unívocamente determinados. Es evidente que como $x$ es arbitrario, los $x_1,x_2$ serán vectores cualesquiera de $V,W$ y podrás expresarlos como combinación lineal de una base de estos, tal como creo que indicas.

[gdonoso94]

Re: Descomposición de un vector en dos vectores.

¿Qué son c1, c2, c3, x1 y x2?

Perdón, iba con prisa y se me olvidó escribirlo:

c1,c2,c3=constantes
x1,x2= descomposición del vector x

Muchas gracias por la respuesta, Ángel! Has resuelto mi duda. Ahora veré si consigo terminar el ejercicio...

[pod]

Re: Descomposición de un vector en dos vectores.

La forma práctica de hacer la descomposición es muy sencilla. Al ser suma directa, $v_i$ además de ser base (por separado) de los subespacios, también son base de todo $\mathbb{R}^3$. Así que el procedimiento es el mismo que tienes que seguir para hacer un cambio de base normal y corriente.