1r ciclo Proyector ortogonal

[Pepealej]

Hola, tengo el siguiente ejercicio en el que me piden hallar el proyector ortogonal sobre un subespacio.

Sea el subpespacio $W=\left\{{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in{\mathbb{R}^4:x_1+x_2-2x_3=0}}\right\}$ hallar su proyector ortogonal.

En la solución hallan el proyector ortogonal de $W^{\perp{}}$ primero, y después como $W\oplus{W^{\perp{}}}=\mathbb{R}^4$, obtienen la matriz de proyección buscada.

Pero lo que no entiendo es como obtener el proyector ortogonal del complemento ortogonal. En la solución hacen:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . No entiendo porqué se obtiene así la matriz de proyección ortogonal.

Gracias

[pod]

Re: Proyector ortogonal

Una forma de razonarlo: como nos hablan de ortogonalidad, podemos suponer que tenemos un producto escalar definido, y que estamos en la base canónica (donde la matriz del producto escalar es la identidad). Fíjate que la definición del subespacio es equivalente a decir que $w \in W \Leftrightarrow a \cdot w = 0$, donde $a = (1, 1, -2, 0)$.

Fíjate que la matriz de proyección no es más que $\Pi = \frac{1}{a\cdot a} a a^T$. Recuerda que los vectores (como a) se representan como una matriz columna. Por lo tanto, el producto de matriz fila por matriz columna (por este orden) da como resultado una matriz 1x1, un escalar. En cambio, el produto de una matriz columna por una matriz fila (por este orden) dan lugar a una matriz cuadrada.

Luego, comprobemos que dado un vector cualquiera $v$ proyectado con $\Pi$ es ortogonal a subespacio. Es decir, $v - \Pi v$ debe formar parte de W. En conclusión, se debe cumplir

$$a \cdot (v - \Pi v) = 0 .$$

Desarrollemos el cálculo, empezando por el segundo término. Recuerda que, cuando la matriz del producto escalar es la identidad, un producto cualquiera se puede escribir matricialmente tal que así: $a \cdot b = a^T b$ (por la regla anterior verás que, efectivamente, da un escalar). Si la matriz no fuera la identidad, tendríamos que introducirla en medio. Por lo tanto

$$\begin{aligned}<br /> a \cdot \Pi v & = a^T \Pi v \\<br /> & = a^T \frac{1}{a\cdot a} a a^T v \\<br /> & = \frac{1}{a\cdot a} a^T a a^T v \\<br /> & = \frac{1}{a\cdot a} (a \cdot a) (a \cdot v) \\<br /> & = a \cdot v .<br /> \end{aligned}$$

A partir de aquí, es trivial comprobar que, efectivamente, se cumple la condición que se debe cumplir.

Puesto de otra forma, este proyector básicamente lo que hace es seleccionar la componente de $v$ que es paralela a $a$. Como $a$ es ortogonal a W (por definición), entonces $\Pi v$ selecciona la parte de v que es ortogonal a W. Por eso se llama proyector ortogonal. Si quisieras hacer el proyector que te lleva dentro del espacio W en vez de a su complementarios $W^\perp$, entonces simplemente tendrías que hacer $1-\Pi$.