1r ciclo Matriz de aplicación lineal

[carlosphy]

Estoy teniendo problemas para plantear la ecuación matricial de este problema. El enunciado dice:

De una aplicación lineal $f\in L(R^4)$ se sabe que:

$f(2,1,0,0)=(0,0,1,2)$

$f(1,-1,0,0)=(0,0,3,1)$

Y que $ker f= im f$

Se pide hallar la matriz F de la aplicación f en la base canónica.

Como ker f = im f he agregado

$f(0,0,1,2)=0$

$f(0,0,3,1)=0$

Y a partir de ahi no sé como seguir. Tengo otro ejercicio parecido resuelto simplemente descomponiendo las vectores en $f(e_{1:n})$ y $e_{1:n}$ y despejando pero no me da el resultado que debería dar. Estoy más interesado en aprender la forma matricial que tendría la ecuación con todos los cambios de base aunque se pida en la canónica.

Gracias!

[pod]

Re: Matriz de aplicación lineal

Una forma de hacerlo, a pico y pala, es simplemente imaginar una matriz con incógnitas en sus 16 posiciones. Por ejemplo, la primera condición es

$$\begin{pmatrix}<br /> a&b&c&d\\ e&f&g&h \\ i&j&k&l \\ m&n&o&p<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} 2\\1\\0\\0 \end{pmatrix}<br /> =<br /> \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\2 \end{pmatrix} .$$

De aquí sacas cuatro ecuaciones. Por la forma del vector, solo aparecen las primeras dos columnas, o sea que tienes ocho incógnitas. Al mismo tiempo, puedes plantear cuatro ecuaciones más (con las mismas ocho incógnitas) usando la segunda imagen que te dan. Con todo esto, puedes resolver $a=b=e=f=0$, $i = 4/3$, $j = - 5/3$ y $m = 1$.

Con lo cual, de momento tenemos

$$A = \begin{pmatrix}<br /> 0&0&c&d\\ 0&0&g&h \\ \frac43&-\frac53&k&l \\ 1&0&o&p<br /> \end{pmatrix} .$$

Para seguir, tenemos que aplicar la última condición: que el núcleo es igual que la imagen. Podemos hacerlo de nuevo a pico y pala, o bien pensando un poco. A pico y pala, tenemos dos opciones: o bien aplicar las dos condiciones que has puesto tú, o bien directamente imponer que $A^2 = 0$. Ambos métodos te dirán que las 8 incógnitas que faltan son todas ceros (usando el método $A^2 = 0$ no necesitas hacer toda la multiplicación matricial; la multiplicación de cada fila con la segunda columna te dirán que toda la tercera columna de la matriz es cero).

Pensando un poco, podemos usar que una aplicación lineal es... lineal. Sabemos que el subespacio generado por $\Big< (0, 0, 1, 2),\ (0, 0, 3, 1) \Big> = \Big< e_3, e_4 \Big>$ es un subespacio de la imagen. Y, por lo tanto, es un subespacio del núcleo de la aplicación. Eso significa directamente que $f(e_3) = f(e_4) = 0$, lo cual nos da la tercera y cuarta columna directamente.

De hecho, si hubiéramos pensado un poco más, podríamos haber hecho este razonamiento desde el principio y directamente poner a cero las dos últimas columnas, lo cual nos habría ahorrado escribir un montón de variables desde el principio.

Fíjate que todo este procedimiento sólo usa las coordenadas de los vectores en la base en la que estamos. Es completamente independiente de si esa base es la canónica o no. Si quisieras hacerlo en otra base, simplemente pasa los vectores a esa base desde el principio; o bien pasa la matriz al final.

[angel relativamente]

Re: Matriz de aplicación lineal

Es justamente como planteas. Por ejemplo, la primera ecuación quedaría de la forma $2f(e_1)+f(e_2)=e_3+2e_4$. Planteando el sistema con las 4 ecuaciones podemos hallar todas las $f(e_i)$ y quedan $f(e_1)=(0,0,4/3,1), \; \; f(e_2)=(0,0,-5/3,0), \; \; f(e_3)=(0,0,0,0), \; \; f(e_4)=(0,0,0,0), \; \;$. De hecho estas dos últimas eran muy sencillas de ver antes de pararse a resolver: Una base de la imagen es claramente $\{e_3,e_4 \}$, por lo que también será una base del núcleo y por su propia definición la aplicación los envía al 0. Una vez has obtenido las $f(e_i)$ ya sabes que estas son las i columnas ordenadas de la matriz de la aplicación. Puedes comprobar que se cumplen las 4 igualdades que pones multiplicando por la derecha los vectores con la matriz F que obtengas.

Un saludo

Pd: Se adelantó pod

[carlosphy]

Re: Matriz de aplicación lineal

Una forma de hacerlo, a pico y pala, es simplemente imaginar una matriz con incógnitas en sus 16 posiciones. Por ejemplo, la primera condición es

$$\begin{pmatrix}<br /> a&b&c&d\\ e&f&g&h \\ i&j&k&l \\ m&n&o&p<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} 2\\1\\0\\0 \end{pmatrix}<br /> =<br /> \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\2 \end{pmatrix} .$$

De aquí sacas cuatro ecuaciones. Por la forma del vector, solo aparecen las primeras dos columnas, o sea que tienes ocho incógnitas. Al mismo tiempo, puedes plantear cuatro ecuaciones más (con las mismas ocho incógnitas) usando la segunda imagen que te dan. Con todo esto, puedes resolver $a=b=e=f=0$, $i = 4/3$, $j = - 5/3$ y $m = 1$.

Con lo cual, de momento tenemos

$$A = \begin{pmatrix}<br /> 0&0&c&d\\ 0&0&g&h \\ \frac43&-\frac53&k&l \\ 1&0&o&p<br /> \end{pmatrix} .$$

Para seguir, tenemos que aplicar la última condición: que el núcleo es igual que la imagen. Podemos hacerlo de nuevo a pico y pala, o bien pensando un poco. A pico y pala, tenemos dos opciones: o bien aplicar las dos condiciones que has puesto tú, o bien directamente imponer que $A^2 = 0$. Ambos métodos te dirán que las 8 incógnitas que faltan son todas ceros (usando el método $A^2 = 0$ no necesitas hacer toda la multiplicación matricial; la multiplicación de cada fila con la segunda columna te dirán que toda la tercera columna de la matriz es cero).

Pensando un poco, podemos usar que una aplicación lineal es... lineal. Sabemos que el subespacio generado por $\Big< (0, 0, 1, 2),\ (0, 0, 3, 1) \Big> = \Big< e_3, e_4 \Big>$ es un subespacio de la imagen. Y, por lo tanto, es un subespacio del núcleo de la aplicación. Eso significa directamente que $f(e_3) = f(e_4) = 0$, lo cual nos da la tercera y cuarta columna directamente.

De hecho, si hubiéramos pensado un poco más, podríamos haber hecho este razonamiento desde el principio y directamente poner a cero las dos últimas columnas, lo cual nos habría ahorrado escribir un montón de variables desde el principio.

Fíjate que todo este procedimiento sólo usa las coordenadas de los vectores en la base en la que estamos. Es completamente independiente de si esa base es la canónica o no. Si quisieras hacerlo en otra base, simplemente pasa los vectores a esa base desde el principio; o bien pasa la matriz al final.

Gracias. De todo Álgebra donde he tenido problemas es en cambios de bases y aplicaciones lineales porque cada libro definía las cosas como quería y me hacía un lío tremendo. Tengo que practicar más.

Entonces la ecuación matricial general sería algo así, ¿verdad?

$((fe_1),f(e_2),f(e_3),f(e_4))*\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}=(e_1,e_2,e_3,e_4)*\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ -0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Gracias.

Es justamente como planteas. Por ejemplo, la primera ecuación quedaría de la forma $2f(e_1)+f(e_2)=e_3+2e_4$. Planteando el sistema con las 4 ecuaciones podemos hallar todas las $f(e_i)$ y quedan $f(e_1)=(0,0,4/3,1), \; \; f(e_2)=(0,0,-5/3,0), \; \; f(e_3)=(0,0,0,0), \; \; f(e_4)=(0,0,0,0), \; \;$. De hecho estas dos últimas eran muy sencillas de ver antes de pararse a resolver: Una base de la imagen es claramente $\{e_3,e_4 \}$, por lo que también será una base del núcleo y por su propia definición la aplicación los envía al 0. Una vez has obtenido las $f(e_i)$ ya sabes que estas son las i columnas ordenadas de la matriz de la aplicación. Puedes comprobar que se cumplen las 4 igualdades que pones multiplicando por la derecha los vectores con la matriz F que obtengas.

Un saludo

Pd: Se adelantó pod

Lo he vuelto a hacer y me había comido un signo menos por eso me daba mal. De todos modos prefiero resolverlo utilizando productos de matrices y cambios de base para estar preparado para ejercicios más complicados.

¿La ecuación que he puesto arriba estaría bien? Si la quisiese en otra base digamos B ¿sólo tendría que usar $A'=PAP^{-1}$ siendo A la matriz de la aplicación lineal en la base canónica y P la matriz de cambio de base de A a B?

Por cierto, ¿hay alguna otra forma de escribir una matriz sin tener que usar todo este código?

\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Gracias.

[pod]

Re: Matriz de aplicación lineal

Gracias. De todo Álgebra donde he tenido problemas es en cambios de bases y aplicaciones lineales porque cada libro definía las cosas como quería y me hacía un lío tremendo. Tengo que practicar más.

Entonces la ecuación matricial general sería algo así, ¿verdad?

$((fe_1),f(e_2),f(e_3),f(e_4))*\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}=(e_1,e_2,e_3,e_4)*\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ -0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

No sé que es esa 4-pla de e's. Yo diría que puedes ponerlo así:

$$A<br /> \begin{pmatrix}<br /> 2&1&0&0\\ 1&-1&0&0\\ 0&0&1&3\\ 0&0&2&1<br /> \end{pmatrix}<br /> =<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}$$

Esto lo podrías resolver multiplicando por la derecha la inversa de la primera matriz (ver hecho en Wolfram Alpha). Es una forma de poner las cuatro ecuaciones para las cuatro imágenes en una sola ecuación matricial. Aunque no estoy seguro de que esto te ayude más que la forma "tradicional".

[carlosphy]

Re: Matriz de aplicación lineal

No sé que es esa 4-pla de e's. Yo diría que puedes ponerlo así:

$$A<br /> \begin{pmatrix}<br /> 2&1&0&0\\ 1&-1&0&0\\ 0&0&1&3\\ 0&0&2&1<br /> \end{pmatrix}<br /> =<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0<br /> \end{pmatrix}$$

Esto lo podrías resolver multiplicando por la derecha la inversa de la primera matriz (ver hecho en Wolfram Alpha). Es una forma de poner las cuatro ecuaciones para las cuatro imágenes en una sola ecuación matricial. Aunque no estoy seguro de que esto te ayude más que la forma "tradicional".

Las 4-pla de e's están para expresar la matriz en la base canónica (por ser la canónica es la misma base pero lo he puesto como si fuera otra cualquier base). Creo que así está expresado en los apuntes que tengo (no son míos y algunas cosas no entiendo, no si es un = o un símbolo de multiplicación)

Se me han colado un par de números que no son en las matrices que he puesto porque he copiado el código de otro ejercicio.