1r ciclo Proyección de vector sobre subespacio

[carlosphy]

No se qué es lo que hago mal en este ejercicio. Aplico la definición que tengo en el libro pero no me da el resultado. La definición dice: la proyección de un vector v sobre un espacio de dimension n es:

$v_1=c_1*w_1+c_2*w_2+...+c_n*w_n$

Estando los vectores $w_n$ normalizados.

Donde c es el coeficiente de Fourier:

$c_n=\frac{(w_n,v)}{||w_n|| }$

Se ve claramente que en el producto $c_n*w_n$ la raíz del denominador desaparece.

Y el problema que no consigo resolver es el siguiente:

Considere un vector x=(5,1,5,1) y los subespacios $V_1=lin[(1,1,1,1),(1,0,1,0)]$ $V_2=lin[(2,3,0,0),(3,2,0,0)]$

¿Qué ángulo forma la proyección ortogonal del vector $x_1$ del vector x sobre subespacio $V_1$ con la proyección ortogonal $x_2$ del mismo vector sobre el subespacio $V_2$?

Yo lo que he hecho ha sido proyectar primero el vector x sobre el subespacio $V_1$, luego proyectar el vector x sobre el subespacio $V_2$ y utilizar esta fórmula para hallar el ángulo.

$cos\theta=\frac{(x_1,x_2)}{||x_1||||x_2||}$

Pero no me da el resultado. Es más, obtengo que el coseno del ángulo es mayor que 1....

A ver si me podéis ayudar. Gracias.

[Rodri]

Re: Proyección de vector sobre subespacio

A mí me sale $cos\phi$ = 45º.

Yo proyecto x sobre V1 (fíjate que $x \in V1$) y luego sobre V2. Cada proyección es un vector ¿no?
Tomando esos dos vectores:que llamamos p1 y p2, haces $cos \phi =\frac{(p1,p2)}{||p1|| ||p2||}$.

¿Cómo lo haces tú?

- - - Actualizado - - -

Por cierto...
Como te he dicho $x\in V1$, por lo que p1=x. Pero me gustaría ver cómo calculas la proyección p2 de x sobre V2.
Ojo. Date cuenta que la base que te dan no es ortogonal...

Y luego, una vez que tengas p1 y p2, incluso aunque estuvieran mal calculados, es imposible que aplicando te salga el coseno >1

Saludos
Rodri

[carlosphy]

Re: Proyección de vector sobre subespacio

A mí me sale $cos\phi$ = 45º.

Yo proyecto x sobre V1 (fíjate que $x \in V1$) y luego sobre V2. Cada proyección es un vector ¿no?
Tomando esos dos vectores:que llamamos p1 y p2, haces $cos \phi =\frac{(p1,p2)}{||p1|| ||p2||}$.

¿Cómo lo haces tú?

- - - Actualizado - - -

Por cierto...
Como te he dicho $x\in V1$, por lo que p1=x. Pero me gustaría ver cómo calculas la proyección p2 de x sobre V2.
Ojo. Date cuenta que la base que te dan no es ortogonal...

Y luego, una vez que tengas p1 y p2, incluso aunque estuvieran mal calculados, es imposible que aplicando te salga el coseno >1

Saludos
Rodri

Me confundí con algunos valores ayer pero lo he vuelto hacer ahora y sigue sin salirme.

Proyecto el vector x sobre $V_1$ como $proy (V_1,x)=\frac{(w_1,x)}{||w_1||^2 }w_1+\frac{(w_2,x)}{||w_2||^2}w_2$

$proy (V_1,x)=\frac{12}{4}(1,1,1,1)+\frac{10}{2}(1,0,1,0)=(8,3,8,3)$

Siendo los coeficientes de Fourier para cada base c=3 y c=5. Es verdad que el vector se encuentra sobre ese plano y los escalares que lo generan son 1 y 4 respectivamente. ¿No deberían coincidir con los coeficientes de Fourier? Porque debería ser su proyección el propio vector x. ¿O sólo es así cuando es una base ortonormal? No tengo muy claro esto, si lo pudieras explicar te lo agradecería.

Sobre $V_2$ hago exactamente lo mismo y me da números decimales así que he dejado de calcular porque algo estoy haciendo mal seguro.

Gracias.

[Rodri]

Re: Proyección de vector sobre subespacio

Me confundí con algunos valores ayer pero lo he vuelto hacer ahora y sigue sin salirme.

Proyecto el vector x sobre $V_1$ como $proy (V_1,x)=\frac{(w_1,x)}{||w_1||^2 }w_1+\frac{(w_2,x)}{||w_2||^2}w_2$

$proy (V_1,x)=\frac{12}{4}(1,1,1,1)+\frac{10}{2}(1,0,1,0)=(8,3,8,3)$

Esa expresión para la proyección sólo es correcta si {w1,w2} es una base ortogonal de V1. Como (1,1,1,1) y (1,0,1,0) no es una base ortogonal el cálculo no es correcto. Por eso no te sale bien. Repasa de dónde sale esta fórmula de la proyección en tu libro o apuntes y verás que es necesario que la base {wn} sea ortogonal.

Una base ortogonal de V1 es por ejemplo {u1=(1,0,1,0), u2=(0,1,0,1)}. Entonces ahora sí que puedo escribir:

$proy(V1,x) = \frac{(u1,x)}{{||u1||}^{2}} + \frac{(u2,x)}{{||u2||}^{2}}$ ... que si lo desarrollas verás que sale =(5,1,5,1)

Para V2 una base ortogonal es por ejemplo {(1,0,0,0), (0,1,0,0)}. Prueba a ver qué te sale para proy(V2,x) usando esta base y la fórmula anterior...

Por cierto, se suele definir "base de Fourier" una base ortonormal, es decir, formada por vectores ortogonales y de norma unidad.

Saludos
Rodri

[carlosphy]

Re: Proyección de vector sobre subespacio

Esa expresión para la proyección sólo es correcta si {w1,w2} es una base ortogonal de V1. Como (1,1,1,1) y (1,0,1,0) no es una base ortogonal el cálculo no es correcto. Por eso no te sale bien. Repasa de dónde sale esta fórmula de la proyección en tu libro o apuntes y verás que es necesario que la base {wn} sea ortogonal.

Una base ortogonal de V1 es por ejemplo {u1=(1,0,1,0), u2=(0,1,0,1)}. Entonces ahora sí que puedo escribir:

$proy(V1,x) = \frac{(u1,x)}{{||u1||}^{2}} + \frac{(u2,x)}{{||u2||}^{2}}$ ... que si lo desarrollas verás que sale =(5,1,5,1)

Para V2 una base ortogonal es por ejemplo {(1,0,0,0), (0,1,0,0)}. Prueba a ver qué te sale para proy(V2,x) usando esta base y la fórmula anterior...

Por cierto, se suele definir "base de Fourier" una base ortonormal, es decir, formada por vectores ortogonales y de norma unidad.

Saludos
Rodri

Ahora sí me da bien. La proyecció sobre $V_2$ es (5,1,0,0) y el ángulo 45º.

En mis apuntes tengo otra forma de proyectar un vector sobre una base no ortonormal y no entiendo la base teórica que hay detrás. No sé si me puedes ayudar. Es así:

Se tiene un vector v y una base no ortonormal $w_1,w_2$ siendo su proyección sobre estas bases $v_2=a*w_1+b*w2$ porque su proyección debe ser combinación lineal de las bases. Hasta aquí bien, lo que no entiendo es cómo plantea el siguiente sistema:

$(w_1,v)=a*(w_1,w_1)+b(w_1,w_2)$

$(w_2,v)=a+(w_2,w_2)+b(w_2,w_2)$

Resolviendo ese sistema para a y b y sustituyendo en $v_2=a*w_1+b*w2$ da el mismo vector. Lo que no entiendo muy bien es el sistema de ecuaciones, no lo veo geométricamente.

Gracias!

Actualizo para decir que ya he deducido el sistema.