1r ciclo Cambio de base en producto escalar

[carlosphy]

He encontrado este apartado en el temario y no recuerdo haberlo dado. He mirado también en libros y no lo encuentro explícitamente especificado. Supongo que se referirá a un simple cambio de base de vectores(matrices) aplicado al producto escalar pero no estoy seguro de cómo se define ni de sus aplicaciones.

[pod]

Re: Cambio de base en producto escalar

El producto escalar es... bueno, un escalar. Por lo tanto, el resultado no puede cambiar al cambiar de base. Lo que sí puede cambiar es la matriz que lo representa. Sea M la matriz del producto escalar en una base,

$$u \cdot v = u^T M v .$$

Sea la matriz de cambio de base A, tal que

$$u' = A u , \qquad v' = A v ,$$

Entonces el producto escalar debe cumplir

$$u' \cdot v' = u^T A^T M' A v = u^T M v,$$

de donde tenemos

$$M = (A^T)^{-1} M' A^{-1} \longrightarrow \boxed{ M' = A^T M A .}$$

[carlosphy]

Re: Cambio de base en producto escalar

El producto escalar es... bueno, un escalar. Por lo tanto, el resultado no puede cambiar al cambiar de base. Lo que sí puede cambiar es la matriz que lo representa. Sea M la matriz del producto escalar en una base,

$$u \cdot v = u^T M v .$$

Sea la matriz de cambio de base A, tal que

$$u' = A u , \qquad v' = A v ,$$

Entonces el producto escalar debe cumplir

$$u' \cdot v' = u^T A^T M' A v = u^T M v,$$

de donde tenemos

$$M = (A^T)^{-1} M' A^{-1} \longrightarrow \boxed{ M' = A^T M A .}$$

Eso era lo que creía porque así se hacen los cambios de base de una forma bilineal, pero como en el temario está presentado como "Cambio de base" dentro del tema del producto escalar dos temas antes de hablar por primera vez de una forma bilineal pensé que quizá podía definir otra cosa.

[pod]

Re: Cambio de base en producto escalar

Eso era lo que creía porque así se hacen los cambios de base de una forma bilineal, pero como en el temario está presentado como "Cambio de base" dentro del tema del producto escalar dos temas antes de hablar por primera vez de una forma bilineal pensé que quizá podía definir otra cosa.

Bueno, es que el producto escalar es una forma bilineal.