1r ciclo Determinar si un sistema es generador del R-espacio R²

[MeN_2016]

Hola, tengo unos ejercicios y estoy un poco atascado en alguno. El problema es el siguiente :


Determinar si S={(1,0),(0,1),(3,-2)} es un sistema generador del R-espacio [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Estudiar si es libre o ligado. Encontrar una base de R<S>.


Bueno, lo que hago es poner en forma de matriz los 3 vectores. Me sale que los 3 son linealmente independientes ( ningun determinante da 0, y el rango maximo es 2 ). Por tanto, si genera el espacio [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , o eso entiendo yo.


Luego, al ser los 3 independientes son libres y, para encontrar una base de R<S> me imagino que bastaria con cojer cualquier pareja de esos vectores, ya que todos son generadores y linealmente independientes, pero solo se pueden coger 2 para formar una base, ya que estamos en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ( cogeria la canonica que es mas elegante :P ). ¿ Esta bien como yo digo ? ¿ Habria que extenderse o demostrar mas que esas palabras ? ¿ Que significa esta notacion --> R<S> ?

[davinci]

Re: Determinar si un sistema es generador del R-espacio R²

Para determinar si son base de R<S> (R<S> hace referencia a la clausura lineal, es decir, el subespacio generado por S) tienes que comprobar si son libres. En el caso de serlo (y dado que has comprobado previamente que sí son sistema generador) coges todos los vectores (en caso de ser ligado, por matrices extraes los vectores libres y esos son la base del subespacio). Para obtener la base de un espacio, entonces podrías recurrir a la base canónica e incluir los que debas incluir para que la dimensión (el número de vectores) sea igual a la dimensión del espacio vectorial en el que te mueves (en este caso, 2). Pero por lo que veo, sólo te pide hallar la base del subespacio.

Para determinar si son sistema generador del espacio vectorial, construyes una matriz y sacas el determinante. Si es distinto de cero, entonces son sistema generador del espacio vectorial.

[Breogan]

Re: Determinar si un sistema es generador del R-espacio R²

Hola:

No me acuerdo mucho del tema, pero creo que los vectores que te dan no son linealmente independientes.

Suerte

[MeN_2016]

Re: Determinar si un sistema es generador del R-espacio R²

Es todo lo que hice, ¿no?. Pide determinar si es sistema generador; y lo es. Pide saber si son libres o ligados; y son libres ( no hay ningun linealmente dependiente de otro ) y pide una base que como estamos en dimension 2, y al ser generadores y ser libres, puede ser cualquier par de ellas osea {(1,0),(0,1)} o {(3,-2),(1,0)} o {(3,-2),(0,1)} .....

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Hola:

No me acuerdo mucho del tema, pero creo que los vectores que te dan no son linealmente independientes.

Suerte

¿ Por que no? Ningun determinante da 0 en la matriz generada por esos 3 vectores. No puedes entrar a decir que crees que esta mal, pero sin saber por que, me creas un trauma pre-examen jajaja :P

[davinci]

Re: Determinar si un sistema es generador del R-espacio R²

Sí, es generador (corrección pod).

[Breogan]

Re: Determinar si un sistema es generador del R-espacio R²

Hola:

Creo que hay un teorema que demuestra que no puede haber un sistema de vectores (pertenecientes a un espacio de dimensión n) linealmente independientes, que contenga mas vectores que la dimensión del espacio al que pertenecen.

No hice las matrices, puede ser que tengas algún error.
Pero si aplicas la definición de independencia lineal se puede ver que cada uno de los tres vectores que te dan se puede obtener como combinación lineal de los dos restantes.

Creo !!

s.e.u.o.

Suerte

[pod]

Re: Determinar si un sistema es generador del R-espacio R²

Este sistema sí es generador de $\mathbb{R}^2$. Para que un conjunto de vectores sea generador de un espacio vectorial significa que cualquier vector del espacio se puede escribir como combinación lineal de esos vectores. Esa es la definición, y en ningún lugar pide que los vectores sean independientes.

Luego, si además de ser un sistema de generadores, el conjunto es linealmente independiente, entonces además es una base. Es decir, la condición de independencia se añade únicamente en el concepto de base, no en sistema de generadores.

Para obtener una base a partir de un sistema de generadores se trata de eliminar vectores dependientes hasta obtener un conjunto mínimo que cumpla las dos condiciones: que no deje de ser generador y sí sea independiente.

[MeN_2016]

Re: Determinar si un sistema es generador del R-espacio R²

Para que un sistema sea generador, los vectores del sistema no pueden ser linealmente dependientes. Como dice Breogan, los vectores dados no son linealmente independientes, por tanto ese sistema no es generador del espacio R2 (prueba a multiplicarlos por un escalar distinto e igualarlos a cero. Verás que lo que resulta es que los escalares pueden ser cualquier número y no únicamente cero, o haz la matriz).

Habia hecho la matriz, y ningun determinante me daba 0. No se que hago mal entonces, la verdad es que habia pensado eso que dice Breogan de que no puede haber un sistema de vectores linealmente independientes que supere a la dimension en la que nos encontramos, pero entonces no caigo. Tambien habia leido algo de que para que sea sistema generador no necesariamente han de ser todos los vectores linealmente independientes.

Hola:

Creo que hay un teorema que demuestra que no puede haber un sistema de vectores (pertenecientes a un espacio de dimensión n) linealmente independientes, que contenga mas vectores que la dimensión del espacio al que pertenecen.

No hice las matrices, puede ser que tengas algún error.
Pero si aplicas la definición de independencia lineal se puede ver que cada uno de los tres vectores que te dan se puede obtener como combinación lineal de los dos restantes.

Creo !!

Suerte

Es cierto, y lo habia pensado...pero hice la matriz y ningun determinante daba 0 y debi liar eso con lo de que para que sea sistema generador si puede haber algun vector dependiente, y por tanto haber mas vectones que la dimension.

Gracias

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Este sistema sí es generador de $\mathbb{R}^2$. Para que un conjunto de vectores sea generador de un espacio vectorial significa que cualquier vector del espacio se puede escribir como combinación lineal de esos vectores. Esa es la definición, y en ningún lugar pide que los vectores sean independientes.

Luego, si además de ser un sistema de generadores, el conjunto es linealmente independiente, entonces además es una base. Es decir, la condición de independencia se añade únicamente en el concepto de base, no en sistema de generadores.

Para obtener una base a partir de un sistema de generadores se trata de eliminar vectores dependientes hasta obtener un conjunto mínimo que cumpla las dos condiciones: que no deje de ser generador y sí sea independiente.

Entonces...¿ Lo tengo bien ?. Es que hice la matriz, y me salen independientes los 3 ( aunque no puedan formar base, ya que forman el $R^2$ y esto limita a la eleccion de 2 vectores ). O eso, o tengo mal la matriz. Sea lo que sea...debo estudiarlo mejor !! Pero a ver si desatasco esto jejeje

[pod]

Re: Determinar si un sistema es generador del R-espacio R²

Entonces...¿ Lo tengo bien ?. Es que hice la matriz, y me salen independientes los 3 ( aunque no puedan formar base, ya que forman el $R^2$ y esto limita a la eleccion de 2 vectores ). O eso, o tengo mal la matriz. Sea lo que sea...debo estudiarlo mejor !! Pero a ver si desatasco esto jejeje

Creo que la opción es "debes estudiarlo mejor".

Un conjunto de vectores es l.i. si (y sólo si) la matriz de sus coordenadas tiene el mismo rango que el número de vectores que tienes. La matriz que te sale tiene rango 2 (no puedes formar ningún determinante 3x3). Rango 2 es diferente al número de vectores, 3, luego no son l.i.

Aunque, en realidad, para demostrar que son sistema de generadores no te importa mucho si son l.i o no, así que esto no es lo que tienes que hacer exactamente.