1r ciclo De bases y dimensiones

[sater]

Buenas. En un ejercicio de Álgebra tengo:


En el espacio vectorial $\mathbb{R}^{5}$se considera el subespacio $W_1$ de los vectores $(x; y; z; t; u)$
tales que

$x + y + z - t = 0 ;$

$2y + z + 2t - u = 0;$

y el subespacio $W_2$ generado por los vectores
$(1, 0, 0,-1, 0)$;

$(0, 1, 1, -4, 1)$;

$(1, 1, 0, -4, 0)$;

$(3, -2, 4, -1, 4)$;

Halla la dimensión y una base de$W_1$, W_2 y $W_1 + W_2$.¿Son los subespacios W_1,
W2 complementarios?


Bueno, pues lo primero que quiero preguntar es si ¿el primer subespacio de vectores (x,y,z,t,u) tal que (y el sistema) se refiere a que el subespacio esta generado por esos cinco vectores o a que lo generan vectores de cinco componentes tal que cumplen esa relación entre ellas?

Lo que yo he hecho es sacar las ecuaciones paramétricas del sistema, entonces quedan tres parámetros, ¿significa eso que la dimensión es 3? y si es así, ¿la base son esos parámetros? porque las bases son vectores, entonces no me concordaría que la base fueran parámetros a no ser que ese sistema sea de vectores (cosa que nunca he visto)

Para el segundo subespacio escalonando se llega a rango tres y su dimensión es tres, y sacar una base se fácil.

Ahora viene lo que ya ni idea, ¿Como hago la dimensión y base de la suma? La dimensión aun aun se me ocurre algo con la fórmula de Grassman pero ni idea para la base.
Y tampoco ni idea para saber si son complementarios.

¿Alguna ayuda?
Gracias de antemano.

[angel relativamente]

Re: De bases y dimensiones

Buenas Sater. Vamos poco a poco:

Bueno, pues lo primero que quiero preguntar es si ¿el primer subespacio de vectores (x,y,z,t,u) tal que (y el sistema) se refiere a que el subespacio esta generado por esos cinco vectores o a que lo generan vectores de cinco componentes tal que cumplen esa relación entre ellas?

No se a qué 5 vectores te refieres, pero lo que quiere decir es que el subespacio $W_1$ está formado por los vectores de $\mathbb{R}^5$ cuyas componentes cumplen las relaciones que muestra el sistema.

Lo que yo he hecho es sacar las ecuaciones paramétricas del sistema, entonces quedan tres parámetros, ¿significa eso que la dimensión es 3? y si es así, ¿la base son esos parámetros? porque las bases son vectores, entonces no me concordaría que la base fueran parámetros a no ser que ese sistema sea de vectores (cosa que nunca he visto)

Cada ecuación te pone una restricción (si son linealmente independientes) por tanto efectivamente la dimensión es 3 y la solución del sistema te quedará con 3 grados de libertad. La base son los vectores solución (los parámetros te dan igual porque buscas el espacio generado, así que los múltiplos los ahorramos). Te lo explico esto con un ejemplo. Si estamos en $\mathbb{R}^3$ y nos dan un subespacio de ecuación $x+y+z=0$, estarás de acuerdo que la solución es de la forma $(-y_0-z_0,y_0,z_0)=(-y_0,y_0,0)+(-z_0,0,z_0)=y_0(-1,1,0)+z_0(-1,0,1)$. Esto nos muestra que cualquier vector de este subespacio se puede poner de esa forma por tanto la base será $\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}$

Ahora viene lo que ya ni idea, ¿Como hago la dimensión y base de la suma? La dimensión aun aun se me ocurre algo con la fórmula de Grassman pero ni idea para la base.

La dimensión la puedes sacar con grassman como dices, aunque necesitas saber la dimensión de la intersección (que se hace viendo las dependencias e independencias lineales entre los vectores de la base). Para la base de la suma de dos subespacios simplemente es una base que contenga la unión de los vectores de ambas bases una vez quitados los linealmente dependientes. O sea si del primero tienes una base $u_1,u_2,u_3$ y del segundo $v_1,v_2,v_3$, lel espacio suma lo generan $u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3$ y quitando los linealmente dependientes tienes la base (recuerda que te tienen que quedar tantos como te diga la dimensión).

Y tampoco ni idea para saber si son complementarios.

Dos espacios son complementarios si la intersección es nula (entiendase que solo coinciden en el 0) y la suma es $\mathbb{R}^5$ en este caso (es decir, que la dimensión de la suma sale 5).


Espero que con esto puedas resolverlo. Cualquier duda pregunta

Un saludo

[guillegran]

Re: De bases y dimensiones

Base de la suma --> Unión de bases
Ecuaciones de la intersección --> Unión de las ecuaciones
Con eso en mente el resto va saliendo...

[sater]

Re: De bases y dimensiones

Buenas de nuevo. Otra duda:
Cuando escalono la matriz de suma de bases (es una matriz de seis filas por cinco columnas) al terminar de escalonar me quedan cinco filas no nulas (lo que era lógico) pero dos filas son iguales (y debería eliminarlas supongo), entonces la suma de estos no puede ser base de R^5 y tampoco complementarios por lo mismo. ¿Es esto lógico o por la pinta que tiene puede ser algún fallo mío?

[angel relativamente]

Re: De bases y dimensiones

Buenas de nuevo. Otra duda:
Cuando escalono la matriz de suma de bases (es una matriz de seis filas por cinco columnas) al terminar de escalonar me quedan cinco filas no nulas (lo que era lógico) pero dos filas son iguales (y debería eliminarlas supongo), entonces la suma de estos no puede ser base de R^5 y tampoco complementarios por lo mismo. ¿Es esto lógico o por la pinta que tiene puede ser algún fallo mío?

Deberías eliminar en cualquier caso 1 fila repetida y así te quedarían 4 linealmente independientes, por lo que supondría que el subespacio suma tiene dimensión 4 y por lo tanto como dices ni es R5 ni son complementarios. Con esto ya tendrías la dimensión y la base, y son resultados completamente lógicos. No obstante te recomiendo hacer grassmann aunque sea para comprobar. Saca la dimensión de la intersección y si no da 2 es que te has equivocado.

[sater]

Re: De bases y dimensiones

Si, quería decir eliminar una. Pues lógico es xD ¿ La dimensión de la intersección es dos, pues he eliminado dos filas que eran linealmente dependientes, entonces eran las que compartían no?
Muchas gracias por tu ayuda Ángel.

Por último, una pregunta algo fuera del tema.
Supongamos que por cada vector linealmente independiente tenemos una "dimensión", como cuando en física la base canónica nos da la referencia de las tres dimensiones espaciales.
En R^3 un plano que pase por el origen es un subespacio y como su propio nombre indica cubre dos dimensiones (un plano concreto) de R^3.
Si se sigue con la lógica, ¿se puede decir que un subespacio con una base de tres vectores, en R^5, cubre un cubo de ese espacio (que no puedo imaginar intuitivamente)?
Y, ¿Se puede decir que una base de cuatro vectores cubre los vectores contenidos en "algo" que no se lo que es de R^5?
¿Tienen nombre estas formas en más de tres dimensiones?

Siento si la pregunta es muy tonta.

[angel relativamente]

Re: De bases y dimensiones

Si, quería decir eliminar una. Pues lógico es xD ¿ La dimensión de la intersección es dos, pues he eliminado dos filas que eran linealmente dependientes, entonces eran las que compartían no?
Muchas gracias por tu ayuda Ángel.

Si has operado bien hasta aquí, sí, la dimensión de la intersección es 2 (te lo dice Grassmann también, 4=3+3-2). No obstante puedes comprobar de otra manera la dimensión de la intersección: Saca ecuaciones de $W_2$ y ya tienes que las ecuaciones de la intersección son la unión de las ecuaciones de $W_1$ y $W_2$ (es lo que te decía antes guillegran). Piensa que es lógico: Las ecuaciones te dan restricciones, y en la intersección ha de haber las restricciones de cada subespacio. Luego te quedas con las ecuaciones que sean linealmente independientes y ya sabes que la dimensión de la intersección será 5-(numero de ecuaciones linealmente independientes). Formalmente es lo mismo que has hecho, pero te sirve para comprobar que las cosas van bien.

Supongamos que por cada vector linealmente independiente tenemos una "dimensión", como cuando en física la base canónica nos da la referencia de las tres dimensiones espaciales.
En R^3 un plano que pase por el origen es un subespacio y como su propio nombre indica cubre dos dimensiones (un plano concreto) de R^3.
Si se sigue con la lógica, ¿se puede decir que un subespacio con una base de tres vectores, en R^5, cubre un cubo de ese espacio (que no puedo imaginar intuitivamente)?
Y, ¿Se puede decir que una base de cuatro vectores cubre los vectores contenidos en "algo" que no se lo que es de R^5?
¿Tienen nombre estas formas en más de tres dimensiones?

Hay una sutil diferencia entre los espacios vectoriales y las variedades lineales (puntos, rectas, planos, ...). Los espacios vectoriales tienen vectores mientras que las variedades lineales están "compuestas" por puntos. Por ejemplo, un plano de R3 no es más que un espacio vectorial de dimensión 2 al que le hemos sumado un punto. Un plano de R3 que pasa por el origen se puede escribir como $\pi=0+W$, donde W es un subespacio vectorial que cumple $\dim W=2$. De ahí es de donde haciendo un pequeño abuso de notación puedes considerar que un espacio vectorial (de dimensión 2) es un plano que pasa por el origen.

Tal como dices, y teniendo en cuenta este abuso de notación, un subespacio de dimensión 3 inmerso en R5 sería un cubo infinito que pasa por el origen (no todos los cubos pasan por el origen en R5). Y efectivamente esto lo puedes llevar a más dimensiones. Que yo sepa no tienen nombre propio (son subespacios vectoriales de dimensión m y punto).

[sater]

Re: De bases y dimensiones

Gracias por la aclaración, Ángel. Muy bonito entenderlo al fin de varias formas =)

[sater]

Re: De bases y dimensiones

Buenas, revivo el hilo por una tontería que estoy dudando: Si quiero sacar los vectores de la intersección, son los que se eliminan cuando se escalona la matriz que es la suma de las bases? es por si es otra forma de sacarlos más comoda, aunque me huele que no debe ser así, porque entonces en este ejemplo concreto la intersección tendría dimensión uno y sabemos (ya con la certeza de la corrección del profesor) que debe ser dos.
Pero es que lo intento razonar, y me debo equivocar en algo: La intersección de dos subespacios generados por dos bases son los vectores de la suma de las bases que sean combinación lineal de los demás, ¿no? pues al pertenecer a ambas deben ser combinación lineal pero no en su base (por ser base, claro está).
La dimensión de la intersección si se puede afirmar que es dos por ser el número de filas que son combinación lineal en la suma de bases? Lo he preguntado anteriormente pero creo que no me ha quedado claro.

Siento las molestias, un saludo

[angel relativamente]

Re: De bases y dimensiones

Buenas, revivo el hilo por una tontería que estoy dudando: Si quiero sacar los vectores de la intersección, son los que se eliminan cuando se escalona la matriz que es la suma de las bases?

Es que si escalonas la matriz y eliminas un vector es porque tienes 2 que son l.d., por tanto con esto no sacarás tus vectores de forma cómoda, solo la dimensión. Si lo que quieres es una base de la intersección lo que se suele hacer es lo que explico antes: Unes las ecuaciones de ambos subespacios y resuelves el sistema que te queda.

[sater]

Re: De bases y dimensiones

Puf es que nunca he visto ejemplos de esto y no sé si sabría hacerlo (y asusta un poco con matrices tan grandes). El proceso se puede hacer a la inversa que el de sacar la base con las ecuaciones del subespacio?

[angel relativamente]

Re: De bases y dimensiones

Tienes las ecuaciones de $W_1$. Las ecuaciones de $W_2$ conocida su base de algún modo sí que puedes hacerlo a la inversa pero suena complicado. Se suele hacer igualando a 0 determinantes pero es muy largo de explicar. Estoy seguro que debes de tener unos apuntes (y si no en cualquier libro básico de álgebra lineal aparece) donde te explique "cómo hallar las ecuaciones de un subespacio conocida la base". De hecho es un ejercicio muy clásico que seguro te saldrá mucho.

[sater]

Re: De bases y dimensiones

Ok pues voy a buscar! Muchas gracias Ángel, que Einstein te lo pague

- - - Actualizado - - -

Vale ya entiendo lo que pasa es que no lo ha dicho porque para el parcial no hemos visto determinantes y por eso en los apuntes aun no está, ahora viendo exámenes resueltos de otros años veo cómo lo hace (sospecho que entonces no debería caer algo necesario con esto, aunque teóricamente todos sabemos hacer determinantes). Gracias de nuevo, un saludo

[Weip]

Re: De bases y dimensiones

Tienes las ecuaciones de $W_1$. Las ecuaciones de $W_2$ conocida su base de algún modo sí que puedes hacerlo a la inversa pero suena complicado. Se suele hacer igualando a 0 determinantes pero es muy largo de explicar. Estoy seguro que debes de tener unos apuntes (y si no en cualquier libro básico de álgebra lineal aparece) donde te explique "cómo hallar las ecuaciones de un subespacio conocida la base". De hecho es un ejercicio muy clásico que seguro te saldrá mucho.

Una cosa, ¿no es más fácil encontrar las ecuaciones paramétricas a partir de la base y de ahí las implícitas? Lo digo porque creo que para hacer eso nunca he tenido que usar determinantes.

[sater]

Re: De bases y dimensiones

Ese sería el proceso inverso del que hablábamos, ¿no?