Divulgación Rodeando la tierra

Necesitaría demostrar que si nos movemos sobre la superficie terrestre siempre manteniendo la misma dirección al final llegaríamos a describir un círculo máximo de la tierra.

Por ejemplo un explorador que avanza en la dirección de tres puntos alineados sobre el suelo. Cuando alcanza el tercero sitúa un nuevo punto alineado con los tres anteriores, y continua su avance, etc. Se trata de demostrar que acabaría llegando al punto de partida después de haber descrito un círculo máximo.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Hola Jabato
Creo que se podría abordar de la siguiente manera:
-con esos tres puntos estás determinando la ecuación del plano en que te mueves.
-la interesección de ese plano con la esfera (que si está centrada en el origen será, en cartesianas, $x^2 + y^2 + z^2 -R_0^2 = 0$) determina la ecuación de la trayectoria.
Habrá que demostrar, a continuación, que esta trayectoria es una circunferencia de radio R (lo cual no debe de resultar dificil con solo cambiar los ejes, o ya tomando desde el principio el plano de la trayectoria como plano ecuatorial) que no tiene por que ser igual a $R_0$

Saludos

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Piensa que los tres puntos están alineados, y tres puntos alineados no definen un único plano. Así que me parece que algo falla.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Ya! Pero el enunciado dice "alineados" sobre la superficie terrestre...por lo tanto determinan un plano (o no están sobre la superficie terrestre)...

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Son tres puntos alineados situados sobre la superficie terrestre. Se supone que están lo suficientemente próximos para considerarlos alineados aunque es evidente que si consideramos que los tres puntos están sobre la superficie terrestre no pueden estar alineados. Digamos que el explorador solo tiene como herramienta de trabajo unas cuantas varas para plantar en el suelo y que su única habilidad son las visuales que puede trazar entre ellas. No sabe cual es el plano horizontal, no puede medir verticales, etc. Solo se limita a ir colocando las varas de forma que puede detectar que están alineadas trazando una visual desde la primera hasta la última.

Salu2

[H2SO4]

Re: Rodeando la tierra

...si nos movemos sobre la superficie terrestre siempre manteniendo la misma dirección al final llegaríamos a describir un círculo máximo de la tierra.

Considerando la Tierra una esfera perfecta sí llegaríamos al mismo punto, pero no es seguro que hubiéramos recorrido un círculo máximo. Por ejemplo, si me muevo continuamente hacia el oeste y no parto de un punto del ecuador, habré descrito un paralelo.

Un saludo

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Buena observación H2S04 aunque creo (no estoy demasiado seguro tampoco) que es falsa. No se todavía como demostrarlo pero creo que no debería ser cierta porque los tres puntos alineados deberían pertenecer siempre a un círculo máximo. La cosa está en como demostrarlo.

Es decir si el explorador se limita a ir colocando estacas de forma que las vea alineadas entonces su trayectoria no debería poder ser un paralelo terrestre. ¿Porqué? Pues ahí es donde está el intringulis.

Se me ocurre lo siguiente. Imaginemos el haz de círculos máximos que pasa por un determinado punto de la superficie esférica, el punto donde se encuentra inicialmente el explorador. Es fácil ver que para cualquier dirección que se tome siempre hay un círculo máximo tangente a esa dirección, que sería el círculo que resultaría recorrido. Por lo tanto para que fuera recorrido un paralelo en lugar de un círculo máximo el explorador debería desviarse un determinado ángulo de la dirección que le marcaran las varillas alineadas.

Salu2

[H2SO4]

Re: Rodeando la tierra

Imaginemos el haz de círculos máximos que pasa por un determinado punto de la superficie esférica, el punto donde se encuentra inicialmente el explorador. Es fácil ver que para cualquier dirección que se tome siempre hay un círculo máximo tangente a esa dirección, que sería el círculo que resultaría recorrido.
Salu2

Desde luego. Por cada punto puedes trazar infinitos círculos máximos. Pero no por cada terna de puntos.

Saludos

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Vamos a ver si lo explico. Situándonos en el punto donde está inicialmente el explorador. Y tracemos mentalmente todas las tangentes a la superficie terrestre por ese punto. El explorador al iniciar su movimiento y una vez ubicada la segunda estaca (la primera está junto al explorador) deberá trasladarse según una de esas tangentes. De eso no hay duda. Pues bien al colocar la tercera estaca alineada con las dos primeras ello le obligara a seguir una trayectoria conforme a la traza de un círculo máximo y no puede ser la de un paralelo, por ejemplo. La cosa está en demostrarlo claro, no basta con afirmarlo.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

A ver si lo doy explicado yo también...
1) Nos colocamos (o colocamos a nuestro explorador) en un punto cualquiera de la esfera. Este punto pertenece evidentemente a un círculo máximo. Llamémoslo punto A (que para verlo más claramente) girando la esfera convenientemente podemos poner que coincida con el eje z.
2) Nos movemos ahora a un segundo punto B. Este segundo punto B tiene que pertenecer a alguno de los infinitos círculos máximos que pasan por el punto A. Estos dos puntos A y B determinan una recta que pertenece a los infinitos planos que cortan a la esfera por los puntos A y B. Uno de estos planos cortará a la esfera dando lugar a un círculo máximo;
4) Nos colocamos ahora en un tercer punto C de la superficie de la esfera "alineado" con los otros dos. Y ahora aquí hay que pararse a definir lo que se entiende por alineación sobre una superficie esférica:

-Si por alineados definimos: "tres puntos sobre una superficie esférica están alineados si pertenecen a un mismo plano", es evidente que tres puntos de una superficie esférica siempre van a pertenecer al mismo plano y por lo tanto estarán siempre alineados. Con esta definición de la alineación, tres puntos alineados no tienen por que pertenecer a un círculo máximo, pero si que pertenecerán a una circunferencia y siguiendo la alineación (siguiendo el mismo plano) se llegará al punto de partida;

-Si definimos la alineación: "tres puntos están alineados si y solo si pertenecen a un plano que corta a la circunferencia según un círculo máximo", ...ya no hace falta demostrar nada, porque forma parte de la definición de alineación.

En resumen, que hay que definir antes lo que se entiende por alineación.

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Es que te estás inventando el enunciado. No hay que definir alineados de ninguna forma, están alineados si el explorador los ve alineados. Esa es la definición de alineados. De hecho es el explorador quien los coloca alineados. Lo que hay que demostrar es que si el explorador los ve alineados entonces la trayectoria que seguirá es la de un círculo máximo. No hay que dar más definiciones. La única condición para que los puntos estén alineados es esa y no otra. La única aproximación que es necesario hacer es la de identificar los puntos de la superficie terrestre con los de una superficie esférica, todo lo demás está en el enunciado.

Salu2

[H2SO4]

Re: Rodeando la tierra

al colocar la tercera estaca alineada con las dos primeras ello le obligara a seguir una trayectoria conforme a la traza de un círculo máximo y no puede ser la de un paralelo
Salu2

O sea, que un terrícola no puede alinear tres estacas en dirección este-oeste. Curioso.

Un saludo

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

Pues claramente sí, el explorador puede a primera vista colocar tres estacas alineadas en dirección este, yo tampoco estoy tan seguro de que mi afirmación sea correcta. Lo que busco es la demostración matemática, o bien de que la afirmación es cierta o bien de que la afirmación es falsa, pero una demostración. Hasta el momento solo ha habido afirmaciones pero sin justificación, lo que se busca es la demostración fehaciente que justifique una de las dos alternativas, o bien que la trayectoria es la de un círculo máximo o bien que no lo es, pero una demostración. Desde luego lo que es cierto es que solo puede haber una trayectoria, pero ... ¿cual? Si no es un círculo máximo entonces ... ¿cual es la trayectoria?

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Es que te estás inventando el enunciado. No hay que definir alineados de ninguna forma, están alineados si el explorador los ve alineados. Esa es la definición de alineados. De hecho es el explorador quien los coloca alineados. Lo que hay que demostrar es que si el explorador los ve alineados entonces la trayectoria que seguirá es la de un círculo máximo. No hay que dar más definiciones. La única condición para que los puntos estén alineados es esa y no otra. La única aproximación que es necesario hacer es la de identificar los puntos de la superficie terrestre con los de una superficie esférica, todo lo demás está en el enunciado.

Salu2

Creo que no me invento nada... Y claro que será necesario "definir" antes lo que se entiende por "alinear tres puntos" sobre una superficie esférica, porque la definición de alineación del espacio euclídeo no sirve.

Si se toma como definición de alineados que el explorador los vea alineados,...es claro que el explorador deberá añadir algo más, porque si solo se fija en los puntos nunca los podrá ver alineados...lo que puede ver alineadas son las "estacas" (es decir vectores) que dices al principio, pero entonces, en este caso, habrá que añadir en que plano están esas estacas o que dirección tienen dichas estacas o vectores...Si previamente dices que las dos primeras estacas tienen dirección vertical (entendida como la dirección gravitatoria o hacia el centro de la esfera) entonces estas dos estacas pertenecen al plano que pasa por esos dos puntos y ademas corta a la esfera según un círculo máximo (dos vectores y un punto determinan un plano y como los vectores concurren en el centro de la esfera, el plano no puede ser otro que el correspondiente a un círculo máximo). Y claro está que la tercera estaca para estar "alineada" deberá pertenecer al mismo plano que las otras dos....es decir a un círculo máximo.

Pero de esta forma no estás alineando puntos sino imponiendo la condición de que las estacas o vectores sean verticales (la vertical es la dirección desde el punto al centro de la esfera), es decir que pertenezcan a un plano ecuatorial. Es decir estás definiendo la alineación...¿o no? Porque si a las dos primeras estacas que el explorador "ve alineadas" no se les impone la condición de que sean verticales (dirigidas hacia el centro de la esfera) la tercera estaca que el observador coloque "viéndola alineada" con las otras dos coincidirá con un paralelo, pero no con un circulo máximo

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Pues claramente sí, el explorador puede a primera vista colocar tres estacas alineadas en dirección este, yo tampoco estoy tan seguro de que mi afirmación sea correcta. Lo que busco es la demostración matemática, o bien de que la afirmación es cierta o bien de que la afirmación es falsa, pero una demostración. Hasta el momento solo ha habido afirmaciones pero sin justificación, lo que se busca es la demostración fehaciente que justifique una de las dos alternativas, o bien que la trayectoria es la de un círculo máximo o bien que no lo es, pero una demostración. Desde luego lo que es cierto es que solo puede haber una trayectoria, pero ... ¿cual? Si no es un círculo máximo entonces ... ¿cual es la trayectoria?

Salu2

Si se desea se puede transformar el razonamiento anterior en demostración matemática con solo tomar dos vectores y un punto y estudiar la posición del plano definido por estos dos vectores y el punto con relación a la esfera....o tomar dos puntos y un vector colocado en uno de ellos y tomar luego un segundo vector coplanario con el otro vector y el punto y estudiar la posición relativa entre este plano y la esfera

[visitante20160513]

Re: Rodeando la tierra

El explorador clava tres estacas en el suelo, y comprueba que están alineadas es decir que puede ver las tres proyectadas una sobre otra. Podemos quizás considerar que las tres estacas están sobre el plano tangente a la esfera (plano del horizonte) en tres puntos geométricamente alineados. Hay que tener en cuenta que aunque la superficie sea esférica la percepción del explorador es la de una superficie plana. Tres puntos coplanarios pueden estar geométricamente alineados creo yo. El explorador no percibe la diferencia porque su visión de la superficie terrestre es la de una superficie plana.

Salu2