1r ciclo Verdadero o falso

[sater]

En un examen de álgebra de otro año hay una pregunta de verdadero o falso y justificar, y tengo en dos dudas (las copio literalmente)
- Sea f un endoformismo de un espacio vectorial E. Si $Nuc(f)=0$, entonces $Nuc(f^2)=0$ con$f^2=f\circ f$[FONT=sans-serif]

Yo he pensado que si f(0)=0, f(f(0)=f(0)=0 por lo que sería cierta, pero no estoy seguro.

- Si f es un endomorfismo de un espacio vectorial E tal que : $f^2=f-I,$ entonces f es diagonalizable.
Aquí la verdad que ni idea.

Gracias por cualquier ayuda o pista, un saludo[/FONT]

[Rodri]

Re: Verdadero o falso

Para la primera pregunta:

Buscamos el núcleo de $f^{2}$. Sea $u \in N(f^{2})$. Entonces $f^{2}(u)=f(f(u))=0$. Por tanto $f(u) \in N(f)$.
Pero sabemos que el núcleo de f solo contiene el vector . Por tanto $f(u)=0$, y por la misma razón tiene que ser $u=0$.

Hemos demostrado que si $f^{2}(u)=0$ entonces $u=0$. Por tanto $N(f^{2})=0$


Para la segunda pregunta:

Supongamos que $f$ es diagonalizable y sea $v$ un autovector de autovalor $\lambda$: $f(v)=\lambda v$

Entonces $f^{2}(v)=\lambda^{2} v = (f-I)v=f(v)-v=\lambda v -v$ --> $\lambda^{2}v-\lambda v +v =0$ --> $\lambda^{2}-\lambda+1=0$

Ahora hay que decir una cosa: yo diría que el enunciado asume que el espacio vectorial es sobre R (números reales). Y en ese caso, como la anterior ecuación para $\lambda$ tiene raíces complejas, resulta que no existe ningún autovalor real posible, por lo que la respuesta sería FALSO, es decir, f no puede diagonalizarse.

En el caso de que el cuerpo sobre el que se define E sea el de los números complejos, entonces, la condición anterior no impide que existan autovalores, por lo que f puede ser perfectamente diagonalizable. Yo diría que falta información para saber si en efecto lo es.

[sater]

Re: Verdadero o falso

Entonces $f^{2}(v)=\lambda^{2} v = (f-I)v=f(v)-v=\lambda v -v$ --> $\lambda^{2}v-\lambda v +v =0$ --> $\lambda^{2}-\lambda+1=0$

Esto no lo entiendo bien. ¿Cómo pasas de la segunda igualdad a la tercera?

[Turing]

Re: Verdadero o falso

Esto no lo entiendo bien. ¿Cómo pasas de la segunda igualdad a la tercera?

¿Esto te lo dice el enunciado no?

$\dst f^2=f-I$ Por lo que, $\dst f^2(v)=f(v)-v$

Piensa que supone que es diagonalizable, por lo que has buscar una combinación lineal $\dst (f- \lambda I)v=0 \to f(v)- \lambda v= 0 \to f(v)=\lambda v$

Un saludo Sater.

[sater]

Re: Verdadero o falso

Pues sí que estoy tonto, sí... jajaja
Gracias a ambos!