Secundaria Plano tangente a superfície de nivel

[juanf03]

Sea S la superficiede nivel cero de F:R^3--->R. Halle la expresión del plano tangente a dicha superficie en el punto (1,1,3), sabiendo que el polinomio de Taylor de segundo grado de F en dicho punto es:

P(x,y,z)=4+2z+x+y^2+x.y

alguien me puede decir como resolver esto? probé de todas als formas, pero no llegué a nada, a ver si alguien lo sabe

[pod]

Re: Plano tangente a superfície de nivel

Creo que se hace de la siguiente forma: del primer orden de Taylor puedes saber cuanto vale el gradiente de la función:

$$P = P_0 + (\vec\nabla P)_0 \cdot \vec r + \cdots$$

Luego, también sabemos que el gradiente es el vector perpendicular a la superficie de nivel. Y eso es justamente lo que necesitamos para definir un plano; un vector perpendicular.

[juanf03]

Re: Plano tangente a superfície de nivel

el tema es que dice de nivel cero y si yo reemplazo en la expresión no me da 0, y otra cosa, como saco la expresión del polinomio de taylor de primer orden a partir de el de 2do orden??........

[Dj_jara]

Re: Plano tangente a superfície de nivel

como saco la expresión del polinomio de taylor de primer orden a partir de el de 2do orden??........

Tienes el desarrollo por Taylor hasta segundo orden, así que si quieres saber el desarrollo de primer orden pues elimina los términos correspondientes a segundas derivadas en el punto y la de derivada "cero", ten en cuenta que el desarrollo lo han centrado en el punto y luego lo han desarrollado para quede como esta, lo que deberías hacer para verlo es desarrollarte teóricamente el polinomio de Taylor alrededor del (1, 1, 3) hasta segundo orden y una vez lo tengas pues lo comparas con la expresión que tienes.

[pod]

Re: Plano tangente a superfície de nivel

jara ya respondió la primera pregunta, así que:

el tema es que dice de nivel cero y si yo reemplazo en la expresión no me da 0,

Lo que debe dar cero es toda la función, no su desarrollo "cortado".

EDIT: Aunque si reorganizas el polinomio para que te quede en la forma de Taylor, se ve claro que $P_0 = 13$. Supongo que se habrán equivocado, que mas da

[juanf03]

Re: Plano tangente a superfície de nivel

Tienes el desarrollo por Taylor hasta segundo orden, así que si quieres saber el desarrollo de primer orden pues elimina los términos correspondientes a segundas derivadas en el punto y la de derivada "cero", ten en cuenta que el desarrollo lo han centrado en el punto y luego lo han desarrollado para quede como esta, lo que deberías hacer para verlo es desarrollarte teóricamente el polinomio de Taylor alrededor del (1, 1, 3) hasta segundo orden y una vez lo tengas pues lo comparas con la expresión que tienes.

El tema es que como hago para sacar los términos de 2do orden, si no esta expresado en potencias de (x-x0) y (y-y0)??

o sea, yo había pensado en sacar las derivadas parciales del polinomio que me dan en el problema(porque en el punto se fusiona con la función) y de ahí armarlo......no se corrijanme si esta mal, o sea:


P(x,y,z)=4+2z+x+y^2+x.y

saco derivadas parciales

f´x=1+y --------->f´x=2
reemplazando en el punto (1,1,3)
f´y=2y+x -------->f´y=3

armo el polinomio

f(x,y)=13+2.(x-1)+3.(x-1) ----->expresión del plano tangente

fuera del error del enunciado, están bien el procedimiento que apliqué y las suposiciones que hice????

[Dj_jara]

Re: Plano tangente a superfície de nivel

El tema es que como hago para sacar los términos de 2do orden, si no esta expresado en potencias de (x-x0) y (y-y0)??

o sea, yo había pensado en sacar las derivadas parciales del polinomio que me dan en el problema(porque en el punto se fusiona con la función) y de ahí armarlo......no se corrijanme si esta mal, o sea:


P(x,y,z)=4+2z+x+y^2+x.y

saco derivadas parciales

f´x=1+y --------->f´x=2
reemplazando en el punto (1,1,3)
f´y=2y+x -------->f´y=3

Sí, lo puedes hacer así, pero te estas dejando la componente z, al hacer eso obtendrás las componentes del gradiente en el punto (1,1,3) (por tanto un vector perpendicular a la superficie equipotencial de (1,1,3), con eso vas te coges la ecuación del plano en forma cartesiana/implícita y teniendo en cuenta que tiene que pasar por (1,1,3) ya lo tienes.

[juanf03]

Re: Plano tangente a superfície de nivel

pero esta bien lo que hice o no??? no me queda claro si me estas diciendo que lo hice bien o mal.....

[Dj_jara]

Re: Plano tangente a superfície de nivel

pero esta bien lo que hice o no??? no me queda claro si me estas diciendo que lo hice bien o mal.....

Lo que te he dicho es que el vector normal a la superficie lo puedes sacar así, la expresión que tu das para plano tangente compruébalo tu mismo, si el vector normal es proporcional al que hay obtenido y si el punto pertenece al plano