Divulgación Cierta curiosidad acerca de los vectores

[Visitante]

Esta duda se me ocurrió hará un año cuando estaba acabando de estudiar los vectores en un espacio euclidiano de tres dimensiones y de tres dimensiones . Consiste en que los vectores son flechas representadas mediante su módulo, dirección... pero se pone como combinación lineal de tres vectores que forman una base ortonormal u ortogonal, es decir, de dos dimensiones (x,y) y de tres (x,y,z) y de una dimensión (x), la cuestión que tengo radica en que si existen más dimensiones, los vectores en un espacio euclidiano de 4 dimensiones se puede poner como combinación lineal de estos y que obedezca el espacio vectorial, como por ejemplo de 4 dimensiones se puede formar una cuaterna (x,y,z,e), de 5 dimensiones (x,y,z,e,m)... a cada dimensión se añade otra coordenada, debido a que la dimensión de 3 a 2 solo se le añade otra coordenada y tienen casi las mismas operaciones... y quizá jugando con los vectores se pueda demostrar la existencia de otras dimensiones jugando con las operaciones de estos y entendiéndolas mediante los vectores representados como combinación lineal de una base ortonormal (por ejemplo) superior a tres (mayor que tres dimensiones, n>3)... La cuestión es ¿Existe alguna teoría que siga esta misma idea?.

Atentamente,
Malevolex

[Rodri]

Re: Cierta curiosidad acerca de los vectores

No hay ningún límite para la dimensión de los vectores en matemáticas como objetos abstractos.

El concepto concreto de vector como segmento orientado en el espacio (flechitas) se puede generalizar a tantas dimensiones como queramos sin problema. Otra cosa es que el espacio de la vida cotidiana se modele como un espacio euclideo tridimensional en el que los vectores son de dimensión 3. Así, la Teoría de la Relatividad utiliza un espacio de 4 dimensiones (3 espaciales + 1 temporal). Y al profundizar en la Física puedes ver más ejemplos en los que el concepto de vector es mucho más general que el que estás considerando.

[Julián]

Re: Cierta curiosidad acerca de los vectores

Y al profundizar en la Física puedes ver más ejemplos en los que el concepto de vector es mucho más general que el que estás considerando.

Exactamente, un vector es un elemento de un espacio vectorial. Y para que un conjunto sea un espacio vectorial deben cumplir ciertas reglas, puedes ver esto en: http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial Por ejemplo una función polinómica es un elemento de un espacio vectorial porque cumple con las operaciones y reglas en lo que es la definición de espacio vectorial.

Una vez ahí puedes seguir viendo las diferentes variantes de un espacio vectorial, como un espacio de hilbert, de banach. Por ejemplo ve lo que es un espacio de hilbert http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilbert el cual se extiende para espacios con dimensiones infinitas. http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Banach

[Weip]

Re: Cierta curiosidad acerca de los vectores

La cuestión es ¿Existe alguna teoría que siga esta misma idea?.
Malevolex

Sí, aunque sigue una idea mucho más general que la tuya. No creo que tenga nombre propio, pero se enmarca en el álgebra lineal. Hay matemáticos que se dedican a estudiar la estructura de diferentes operaciones, en diferentes espacios vectoriales (conjuntos dotados de suma y producto por escalares, explicado de forma corta) de dimensiones arbitrarias/infinitas. Te pongo un link de un artículo que está bastante bien sobre los productos vectoriales en espacios euclídeos de 7 dimensiones.

[FONT=Verdana]y quizá jugando con los vectores se pueda demostrar la existencia de otras dimensiones jugando con las operaciones de estos y entendiéndolas mediante los vectores representados como combinación lineal de una base ortonormal (por ejemplo) superior a tres (mayor que tres dimensiones, n>3)
[/FONT]Malevolex

"Jugando" con los vectores solamente no puedes demostrar nada. El hecho de tener "muchas dimensiones" está en la misma definición de dimensión: número de elementos de la base de un cierto espacio vectorial. Una base puede tener el número que quieras de vectores, siempre que sean linealmente independientes. Así que demostrar que puedes tener más de 3 o más de 4 es inmediato.

Ahora bien, ¿sirve esta teoría para demostrar que en la realidad hay más dimensiones de las 4 usuales? No, tan solo son matemáticas, y no todo lo matemáticamente correcto es real.

[Visitante]

Re: Cierta curiosidad acerca de los vectores

operaciones con 7 dimensiones, interesante.
"Ahora bien, ¿sirve esta teoría para demostrar que en la realidad hay más dimensiones de las 4 usuales? No, tan solo son matemáticas, y no todo lo matemáticamente correcto es real."
Pero las matemáticas nos dan una descripción del universo, nos puede ayudar a entenderlo, sin embargo no a visualizarlo...

[Weip]

Re: Cierta curiosidad acerca de los vectores

Pero las matemáticas nos dan una descripción del universo, nos puede ayudar a entenderlo, sin embargo no a visualizarlo...

Por supuesto, las matemáticas han demostrado de sobras ser la forma más potente para describir la realidad. A lo que me refiero es que tu puedes tener una teoría que aunque sea lógicamente sea correcta, puede no corresponder con la realidad. Es por eso que en física necesitamos experimentos para avanzar: sin ellos no sabemos si la naturaleza se decanta por nuestro modelo o no. Respecto a la visualización del universo, yo creo que las matemáticas sí nos ayudan en ello. Siempre que usemos el modelo correcto, claro.

[angel relativamente]

Re: Cierta curiosidad acerca de los vectores

Solo por añadir algo: En las bases no hace falta que los vectores sean ortogonales u ortonormales, aunque estas son especialmente cómodas. Para que un conjunto de vectores sea base de un espacio vectorial solo tienen que cumplir dos condiciones: Que los vectores sean generadores (esto es, que cualquier vector del espacio se pueda poner como combinación lineal de estos) y que sean linealmente independientes. Si te interesa, puedes buscar sobre "bases de espacios vectoriales" en álgebra lineal, y verás que las cosas son bastante abstractas y se trabaja todo en una dimensión n cualquiera.

Saludos,

[Visitante]

Re: Cierta curiosidad acerca de los vectores

Para ver si varios vectores de otra dimensión son combinación lineal se puede recurrir a la propiedad fundamental, pero no demuestra otras dimensiones euclidianas.