1r ciclo Demostraciones simples conjuntos

[KyAlOx]

Bien, por curiosidad he empezado un curso básico de álgebra, sobre todo acerca de conjuntos (que nunca he dado en mis estudios hasta ahora...). Son cosas sencillas, pero trae algunos ejercicios sin solución; agradecería que alguien mirase a ver si lo que voy haciendo (iré subiendo más cosas que haga) está bien, o, básicamente, si el formalismo es mínimamente correcto. ¡Críticas aceptadas y esperadas! :P

Demostrar la siguiente igualdad:

$X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap (X\setminus B)$

$X\setminus(A\cup B)=\{ n:(n\in X)\wedge [(n\notin A)\vee (n\notin B)]\}=$

$=\{ n:[(n\in X)\wedge (n\notin A)]\vee [(n\in X)\wedge (n\notin B)]\}=$

$=(X\setminus A)\cap (X\setminus B)$

$Q.E.D.$

Demostrar la siguiente igualdad:

$(A\cup B)\setminus (A\cap B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

$(A\cup B)\setminus (A\cap B)=\{ n:[(n\in A)\wedge (n\in B)]\vee [(n\notin A)\vee (n\notin B)]\} =$

$=\{ n:[(n\in A)\wedge (n\notin B)]\vee [(n\in B)\wedge (n\notin A)]\} =$

$=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

$Q.E.D.$

Es posible que me haya equivocado al pasar de mis apuntes a latex, pero bueno...Lo dicho, son cosas sencillas pero como todavía me estoy familiarizando con ello...me gustaría empezar bien. Y de paso, ver si lo que hago está correcto xD en fin, ¡gracias por adelantado!

Est sularis oth mithas

[pod]

Re: Demostraciones simples conjuntos

Para fijar notación, $\wedge$ es "y", $\vee$ es "o". ¿Correcto?

$X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap (X\setminus B)$

$X\setminus(A\cup B)=\{ n:(n\in X)\wedge [(n\notin A)\vee (n\notin B)]\}=$

$=\{ n:[(n\in X)\wedge (n\notin A)]\vee [(n\in X)\wedge (n\notin B)]\}=$

$=(X\setminus A)\cap (X\setminus B)$

En el penúltimo paso, el "o" (que se traduciría en unión) debería ser un "y". Además, aunque quizá es cuestión de gustos, no estaría de mar hacer los pasos más detallados para evitar dar "saltos lógicos". Por ejemplo,

$$\begin{aligned}<br /> X\setminus(A\cup B) <br /> & = \big\{ n \in X \big| n \notin \{ m \in A \vee m \in B\} \big\} \\<br /> & = \big\{ n \in X \big| n \notin A \wedge n\notin B \big\} \\<br /> & = \big\{ n \in X \big| n \notin A \big\} \cap \big\{ n\in X\big| n\notin B\big\} \\<br /> & = (X\setminus A)\cap (X\setminus B) \ .<br /> \end{aligned}$$

Demostrar la siguiente igualdad:

$(A\cup B)\setminus (A\cap B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

$(A\cup B)\setminus (A\cap B)=\{ n:[(n\in A)\wedge (n\in B)]\vee [(n\notin A)\vee (n\notin B)]\} =$

Yo diría que tienes todos los "y" y "o" intercambiados. Recuerda:

$$\cup \leftrightarrow \vee \ , \qquad \cap \leftrightarrow \wedge\ .$$

$Q.E.D.$

No hace falta que gastes el ancho de banda de una imagen para poner eso. Al final, te pasaré la factura del servidor.