1r ciclo Cómo parametrizar la curva intersección de una esfera con un plano.

[BRPC]

Buenas, estudiando parametrizaciones me tope con un ejercicio que me tiene un poco intrigado y es por eso que necesito de vuestra ayuda por favor.

Este ejercicio me pide hallar una parametrizacion regular de la curva definida por el par de ecuaciones:

${x}^{2 }+{y}^{2 }+{z}^{2 }=4$
${x}={y}+{z}+2$

Entiendo que la ecuacion ${x}^{2 }+{y}^{2 }+{z}^{2 }=4$ define una esfera de radio 2 centrada en el origen y que cuya intersección con el plano ${x}={y}+{z}+2$ forma una [FONT=verdana][/FONT]elipse[FONT=verdana] circunferencia [/FONT]pero aun así no puedo resolver el ejercicio.

He observado que para parametrizar diversas curvas, los apuntes sigue siempre el mismo patrón: proyectan la intersección sobre el plano XY, y despejando un "z" ya tiene la curva parametrizada. Y aquí surge un problema, ¿Cómo proyecto la curva sobre el plano XY?

Yo lo que hice fue: despejar ${x}$ de la ecuación del plano para luego reemplazarlo en la ecuación de la esfera y obtuve esto:${(y+z+2)}^{2}+{y}^2+{z}^2=4$ y luego intentando simplificar llegue a ${(y+1)}^2+{(z+1)}^2+zy=2$ ¿Puede ser que esta ecuación me este definiendo una superficie cuadrica donde $zy$ es el elemento cruzado? No entiendo...

Muchas gracias y un saludo.

- - - Actualizado - - -

obs: La ecuación ${(y+1)}^2+{(z+1)}^2+zy=2$ genera la proyeccion sobre el plano $ZY$ lo cual se contradice con mi deseo de proyectar sobre el plano $XY$ es por ello que decidí operar con esta nueva ecuación

${x}^{2 }+{y}^{2 }+{x-y-2}^{2 }=4$ que si proyecta sobre el plano $XY$

[visitante20160513]

Re: Cómo parametrizar la curva intersección de una esfera con un plano.

Lo que has hecho ha sido proyectar la curva pedida sobre el plano YZ. Puedes parametrizar dicha curva usando la siguiente técnica (*), observa que la curva pasa por el origen, pues bien, halla la intersección de dicha curva con un haz de rectas que pasen por dicho punto:

$z=my$

y obtienes, aparte de la solución trivial $y=0$, lo siguiente:

$y=-\displaystyle\frac{2(1+m)}{(1+m+m^2)}$

Por lo tanto:

$z=my=-\displaystyle\frac{2m(1+m)}{(1+m+m^2)}$

Ya solo te queda obtener $x$, pero eso es muy sencillo porque:

$x=y+z+2=-\displaystyle\frac{2m}{(1+m+m^2)}$

Salvo que haya cometido algún error, que podría ser, dichas paramétricas deben satisfacer la ecuación de la esfera y del plano dados y por lo tanto son una parametrización de la curva pedida.

Probemos con algunos valores sencillos de m:

Para $m=0\qquad P(0,\ 2,\ 0)\qquad$
Para $m=-1\quad P(2,\ 0,\ 0)$
Para $m=1\qquad P(-2/3,\ -4/3,\ -4/3)$

etc.

Es sencillo comprobar que en los tres casos verificados se satisfacen las ecuaciones de la esfera y del plano dados luego los cálculos parecen correctos.

(*) Esta es una propiedad de todas las cónicas (son curvas unicursales) y es muy útil para obtener sus ecuaciones paramétricas racionales, utilidad de aplicación entre otras en la racionalización de las integrales de funciones irracionales.

Salu2, Jabato.

[guillegran]

Re: Cómo parametrizar la curva intersección de una esfera con un plano.

Si no me equivoco, la intersección de una esfera y un plano, por simetría da siempre una circunferencia, a lo mejor eso te puede ayudar.

[BRPC]

Re: Cómo parametrizar la curva intersección de una esfera con un plano.

[FONT=verdana]Guille eso es correcto siempre y cuando el plano de corte pase pase por el origen y como veras el plano $x=y+z+2$ no cumple con eso.[/FONT][FONT=Georgia][/FONT]
[FONT=Georgia]Tenes toda la razón Guille y me equivoque en pensar lo contrario. Toda intersección de un plano con una esfera forma una circunferencia y si el plano pasa por el centro de la esfera entonces el radio de la circunferencia formada por la intersección es de igual radio que la esfera.[/FONT]

[gdonoso94]

Re: Cómo parametrizar la curva intersección de una esfera con un plano.

Estoy con guille. No veo plano que cortando una circunferencia, aunque no pase por el origen, su intersección sea una elipse, por ejemplo.

[Al2000]

Re: Cómo parametrizar la curva intersección de una esfera con un plano.

Cuando un plano corta una esfera, siempre se obtiene un círculo. Seguramente Jabato tenía un cono en el fondo de su mente...

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[visitante20160513]

Re: Cómo parametrizar la curva intersección de una esfera con un plano.

Pues no, no es verdad que tenga un cono en mi mente. Es cierto que la intersección de un plano y una esfera siempre es una circunferencia, pero la proyección de una circunferencia sobre un plano no necesariamente debe serlo, ya que solo lo es en un cierto caso especial. En general la proyección de una circunferencia sobre un plano es una elipse. Lo que se utilizó para hacer el cálculo fue la proyección de la circunferencia intersección sobre el plano YZ, y esa si resultó ser una elipse, que no es lo mismo. Lo digo en la primera frase del primer párrafo de mi mensaje.

Antes de proceder a realizar una crítica destructiva convendría leer más despacio lo que escriben los otros.

Salu2, Jabato.

[BRPC]

Re: Cómo parametrizar la curva intersección de una esfera con un plano.

[FONT=Verdana]Gracias Jabato.[/FONT][FONT=Verdana]

Sin duda me sirvió tu consejo para ver una nueva forma de parametrizar y a su vez entender que esta elipse rotada era una curva racional.

Aunque debo admitir que me sentía un poco molesto por no poder conseguir una forma paramétrica con senos y cosenos. Así que investigando encontré un hilo de otro foro donde explicaban como parametrizar una elipse rotada en forma de senos y cosenos.[/FONT][FONT=Verdana]Aca dejo transcripto lo que vi en el otro foro:

[/FONT]

[FONT=verdana]cualquier elipse puede pametrizarse con senos y cosenos al estilo Quimey.[/FONT]

[FONT=verdana] De forma general es:[/FONT]

$(x(t),y(t))=(p,q)+a\,cos(t)\vec u+ b\,sin(t)\vec v$

[FONT=Verdana]donde:

[/FONT]$(p,q)$[FONT=Verdana]= centro de la elipse[/FONT][FONT=Verdana]

[/FONT]$(\vec u,\vec v)$[FONT=Verdana]= vectores de norma 1 en la dirección de sus ejes[/FONT][FONT=Verdana]

[/FONT]$(a,b)$[FONT=Verdana]= longitud de sus semiejes[/FONT][FONT=Verdana]


La cuestión del tema es calcular esos valores. De la manera más general pueden obtenerse así:


Dada la ecuación de una elipse:

[/FONT]$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,\quad \mbox{con}\quad a_{11}>0$
[FONT=Verdana]
Consideramos su matriz asociada [/FONT]$A$[FONT=Verdana]y de términos cuadráticos [/FONT]$T$[FONT=Verdana]:[/FONT][FONT=Verdana]

[/FONT]$A=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{12}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{13}}&{a_{23}}&{a_{33}}\end{bmatrix},\qquad T=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{12}}&{a_{22}}\end{bmatrix}$[FONT=Verdana]

Entonces si [/FONT]$\lambda_1,\lambda_2$[FONT=Verdana]son los autovalores de [/FONT]$T$[FONT=Verdana]y [/FONT]$\vec u',\vec v'$[FONT=Verdana]sus correspondientes autovectores se tiene:[/FONT][FONT=Verdana]

- El centro [/FONT]$(p,q)$[FONT=Verdana]es la solución del sistema lineal [/FONT]$(p,q,1)A=(0,0,h)$[FONT=Verdana].[/FONT][FONT=Verdana]

- Los vectores [/FONT]$\vec u$[FONT=Verdana]y [/FONT]$\vec v$ [FONT=Verdana]son los autovectores normalizados: [/FONT]$\vec u=\displaystyle\frac{\vec u'}{\|\vec u'\|}$[FONT=Verdana]y [/FONT]$\vec v=\displaystyle\frac{\vec v'}{\|\vec v'\|}$[FONT=Verdana].[/FONT][FONT=Verdana]



- Los semiejes se obtienen:

[/FONT]$a=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{-det(A)}{\lambda_1^2\lambda_2}}$

[FONT=Verdana]$b=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{-det(A)}{\lambda_1\lambda_2^2}}$[/FONT]

Siguiendo esa linea de razonamiento pude parametrizar (en función de senos y cosenos) la proyección, de la curva intersección, sobre el plano $xy$ .

[FONT=Verdana]$\vec\gamma (t):[0,2\pi)\to {R}^{2} / \vec\gamma (t)=\left( \displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{2}{3}\,cos(t)+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\,sin(t),-\displaystyle\frac{2}{3}-\displaystyle\frac{2}{3}\,cos(t)+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\,sin(t) \right)$[/FONT]

[FONT=Verdana]Y reemplazando en la ecuación del plano [/FONT]$z=x-y-2$ obtuve:

$z(t)=\left(-\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{4}{3}\,cos(t)\right)$

Quedando así una nueva parametrizacion pero esta vez de la curva intersección:

[FONT=Verdana]$\vec\alpha(t):[0,2\pi)\to {R}^{3}$[/FONT]
[FONT=Verdana]
[/FONT]$\vec\alpha(t)=\left( \displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{2}{3}\,cos(t)+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\,sin(t),-\displaystyle\frac{2}{3}-\displaystyle\frac{2}{3}\,cos(t)+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\,sin(t),-\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{4}{3}\,cos(t)\right)$

[visitante20160513]

Re: Cómo parametrizar la curva intersección de una esfera con un plano.

Si, esa forma también sería válida. Ya tienes dos. Yo creo que conozco al que hace esas parametrizaciones en formato vectorial. No es la primera vez que veo una así y es un buen elemento. Suele saber de lo que habla.

Salu2, Jabato.

[Breogan]

Re: Cómo parametrizar la curva intersección de una esfera con un plano.

Hola:

Me parece que te hiciste una ensalada con las variables, pero como no esta todo el desarrollo del problema no lo puedo afirmar. Por ocupar el tiempo voy a tratar de resolverlo por las mías.

$\dst \left\{\begin{aligned}x^2 + y^2 + z^2 & = 4\\ y + z + 2 & = x \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad (y + z + 2)^2 + y^2 + z^2 = 4$

resultando:

$$\dst y^2 + y z + z^2 + 2 y + 2 z =0$$

que también lo podemos expresar como:

$\dst \begin{pmatrix}y &z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y \\ z \end{pmatrix} = 0$

Si llamamos:

$\dst A = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix} \quad matriz \ de \ coef. \ cuadraticos \ y \ cruzados$

$\dst B = \begin{pmatrix}2 & 2 \end{pmatrix} \quad matriz \ de \ coef. \ lineales$

$\dst V = \begin{pmatrix}y \\ z \end{pmatrix} \quad vector \ incognita$

queda:

$\dst V^t \ A \ V + B \ V = 0$

Proponemos un cambio de variable:

$\dst V = P \ V' \quad donde \quad V' = \begin{pmatrix}y' \\ z' \end{pmatrix}$

reemplazando queda:

$\dst (P \ V')^t \ A \ (P \ V') + B \ (P \ V') = 0$

operando y reagrupando:

$\dst V'^t \ (P^t \ A \ P) \ V' + (B \ P) \ V' = 0$

y como en este cambio de variables no deben aparecer terminos cruzados se debe cumplir que $\dst (P^t \ A \ P)$ debe ser diagonal.

Hay que encontrtar la matriz P, para eso 1º encontramos los autovalores de A:

$\dst |A-\lambda I| = \left| \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right| =$$\dst \left| \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1/2 \\ 1/2 & 1-\lambda \end{pmatrix} \right| = (1 - \lambda)^2 - \frac 1 4 = 0$

$\dst \lambda^2 - 2 \lambda + \frac 3 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = \frac 3 2 \ y \ \lambda_2 = \frac 1 2$

ahora los autovectores:

$\dst A J_i -\lambda_i J_i = 0 \quad donde \ J_i \ es \ autovector \ i$

$\dst J_1 : \ \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}j_{1} \\ j_{2} \end{pmatrix} -\lambda_1 \begin{pmatrix}j_{1} \\ j_{2} \end{pmatrix} = 0$

$\dst J_1 : \ \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}j_{1} \\ j_{2} \end{pmatrix} -\frac 3 2 \begin{pmatrix}j_{1} \\ j_{2} \end{pmatrix}=$$\dst \begin{pmatrix} \dst -\frac 12 j_1 + \frac 12 j_2 \\ \dst \frac 12 j_1 - \frac 12 j_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad j_1= j_2$


$\dst \therefore J_1 = \alpha \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Analogamente se llega a:

$\dst \therefore J_2 = \beta \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Tomando los autovectores unitarios Ji, nnuestra matriz P queda:

$\dst P = \begin{pmatrix} \dst \frac {\sqrt{2}} 2 & \dst \frac {\sqrt{2}} 2 \\ \dst \frac {\sqrt{2}} 2 & \dst -\frac {\sqrt{2}} 2 \end{pmatrix} = \frac {\sqrt{2}} 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

Ahora hallamos:

$\dst (P^t \ A \ P) \quad y \quad (B \ P)$

$\dst (P^t \ A \ P) = \frac {\sqrt{2}} 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix} \frac {\sqrt{2}} 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$\dst (P^t \ A \ P) = \frac 1 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

$\dst (P^t \ A \ P) = \frac1 2 \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

y

$\dst B P = \begin{pmatrix} 2 & 2 \end{pmatrix} \frac {\sqrt{2}} 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$\dst B P = \frac {\sqrt{2}} 2 \begin{pmatrix} 4 & 0 \end{pmatrix}$

Entonces la ecuación de la elipse queda:

$\dst \begin{pmatrix}y' &z' \end{pmatrix} \frac 1 2 \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y' \\ z' \end{pmatrix} + \frac {\sqrt{2}} 2 \begin{pmatrix}4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y' \\ z' \end{pmatrix} = 0$

$\dst \frac 1 2 \begin{pmatrix}y' &z' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 y' \\ z' \end{pmatrix} + \frac {\sqrt{2}} 2 4 y' = 0$

$\dst \frac 3 2 {y'}^2 + \frac {{z'}^2} 2 + 2 \sqrt{2} y' = 0$

$\dst {y'}^2 + \frac {{z'}^2} 3 +\frac 4 3 \sqrt{2} y' = 0$

$\dst {y'}^2 + 2 \left( \frac {2 \sqrt{2}} 3 \right)y'+ \frac 8 9 - \frac 8 9 + \frac {{z'}^2} 3 = 0$

$\dst \left({y'} + \frac {2 \sqrt{2}} 3 \right)^2 + \frac {{z'}^2} 3 = \frac 8 9$

$$\dst \frac {\left({y'} + \dst \frac {2 \sqrt{2}} 3 \right)^2}{\dst \frac 8 9} + \frac {{z'}^2} {\dst \frac 8 3} = 1$$

que es la ecuación canonica de la elipse en el nuevo sistema de coordenadas, cuya matriz de cambio es P:

$\dst V = P V'$

por lo cual:

$\dst \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dst \frac {\sqrt{2}} 2 & \dst \frac {\sqrt{2}} 2 \\ \dst \frac {\sqrt{2}} 2 & -\dst \frac {\sqrt{2}} 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y' \\ z' \end{pmatrix}$

$\dst \left\{\begin{aligned} y & = \dst \frac {\sqrt{2}} 2 y' + \dst \frac {\sqrt{2}} 2 z' \\ z & = \dst \frac {\sqrt{2}} 2 y' - \dst \frac {\sqrt{2}} 2 z' \end{aligned}$

Para verificar hice este cambio de variables en la ecuación (1) y tambien llegue a la ecuación (2).

Queda por parametrizar esta elipse con:

$\dst \left\{\begin{aligned}(y' + \frac {2 \sqrt{2}} 3) & = \frac {\sqrt{8}} 3 \cos t \\ z' & = \frac {\sqrt{8}} {\sqrt{3}} \sin t \end{aligned} \quad t \ \in \ [0 , 2 \pi]$

para luego desandar el cambio de variable y llegar a las expresiones de "y" y de "z", para por ultimo encontrar la expresión de "x".

Realmente no se mucho del tema y se me puede haber escapado un horror, por lo cual agradecería su revisión. Gracias.

s.e.u.o.

Suerte

- - - Actualizado - - -

Como falta poco, lo voy a terminar.

Las ecuaciones parametricas de la elipse en el SR y' , z' son:

$\dst \left\{\begin{aligned}y' & = \frac {2 \sqrt{2}} 3 \cos t - \frac {2 \sqrt{2}} 3 \\ z' & = \frac {2 \sqrt{2}} {\sqrt{3}} \sin t \end{aligned} \quad t \ \in \ [0 , 2 \pi]$

y ahora la reemplazamos en las ecuaciones de cambio de SR:

$\dst \left\{\begin{aligned} y & = \dst \frac {\sqrt{2}} 2 y' + \dst \frac {\sqrt{2}} 2 z' \\ z & = \dst \frac {\sqrt{2}} 2 y' - \dst \frac {\sqrt{2}} 2 z' \end{aligned}$


$\dst y = \dst \frac {\sqrt{2}} 2 \left[ \frac {2 \sqrt{2}} 3 \cos t - \frac {2 \sqrt{2}} 3 \right] + \dst \frac {\sqrt{2}} 2 \frac {2 \sqrt{2}} {\sqrt{3}} \sin t$

$$\dst \boxed{ y = \frac 2 3 \cos t + \frac 2 {\sqrt{3}} \sin t - \frac 2 3 }$$

$\dst z = \dst \frac {\sqrt{2}} 2 \left[ \frac {2 \sqrt{2}} 3 \cos t - \frac {2 \sqrt{2}} 3 \right] - \dst \frac {\sqrt{2}} 2 \frac {2 \sqrt{2}} {\sqrt{3}} \sin t$

$$\dst \boxed{ z = \frac 2 3 \cos t - \frac 2 {\sqrt{3}} \sin t - \frac 2 3 }$$

y por ultimo reemplazando en $\dst x = y + z + 2$ obtenemos la expresión de x:

$\dst x = \frac 2 3 \cos t + \frac 2 {\sqrt{3}} \sin t - \frac 2 3 + \frac 2 3 \cos t - \frac 2 {\sqrt{3}} \sin t - \frac 2 3 + 2$

$$\dst \boxed {x = \frac 4 3 \cos t + \frac 2 3}$$

Si no me equivoque, las ecuaciones (3), (4), y (5) son las ecuaciones parametricas de el circulo en el espacio que define el problema.

Para verificar si todo es correcto se pueden reemplazar las ecuaciones parametricas en la formula (1) , si verifica la igualdad esta todo bien, sino no.

s.e.u.o.

Suerte

[BRPC]

Re: Cómo parametrizar la curva intersección de una esfera con un plano.

Gracias Breogan lo que hiciste parece tener la misma naturaleza vectorial de lo que mencione mas arriba pero con la salvedad de que explicaste cada paso, lo cual, agradezco profundamente ya que me ahorraste mucho tiempo en tener que comprender el porqué de cada calculo.

En cuanto al calculo de mi parametrizacion sigue la misma lógica que la tuya con la diferencia de que yo parametrice la proyección de la curva intersección sobre el plano $xy$ y luego despeje $z(t)$ mientras que tu parametrizaste la proyecion sobre el plano $zy$ y luego despejaste $x(t)$. En fin, te agradezco nuevamente y cuando me saque un poco mas de tiempo voy a analizar minuciosamente cada paso de lo que hiciste para comprender como debe ser.