Secundaria derivadas de los vectores unitarios esféricos

[alexpglez]

Hola, tenía una duda, sobre el tercer vector unitario cómo se deriva y obtiene un vector combinación lineal del sistema¿?

$$\hat r = \sin \varphi \cos \theta \vec i + \sin \varphi \sin \theta \vec j + \cos \varphi \vec k$$

$$\hat \theta = \cos \varphi \cos \theta \vec i + \cos \varphi \sin \theta \vec j - \sin \varphi \vec k$$

$$\hat \varphi = - \sin \varphi \vec i + \cos \varphi \vec j$$

$$\frac{\dd \hat r}{\dd t}=\frac{\dd \theta}{\dd t}\hat \theta + \frac{\dd \varphi}{\dd t}\sin \theta \hat \varphi$$

$$\frac{\dd \hat \theta}{\dd t}=-\frac{\dd \theta}{\dd t}\hat r + \frac{\dd \varphi}{\dd t}\cos \theta \hat \varphi$$

Y este es el que no sé como escribirlo, me sale esto:

$$\frac{\dd \hat \varphi}{\dd t}=-\frac{\dd \varphi}{\dd t}\cos \varphi \vec i - \frac{\dd \varphi}{\dd t}\sin \varphi \vec j$$

[Weip]

Re: derivadas de los vectores unitarios esféricos

¿$\varphi$ depende del tiempo? ¿Exactamente qué es? Si nos dices de donde has sacado este proceso te podremos ayudar mejor.

[alexpglez]

Re: derivadas de los vectores unitarios esféricos

Si, lo siento, no me expliqué bien. Me gustaría hacer esto que está en polares 2D en esféricas 3D.



Pero no sé como escribir ese tercer vector que escribí.
Busco finalmente llegar a la expresión de velocidad y aceleración.

[Weip]

Re: derivadas de los vectores unitarios esféricos

Entonces $\varphi$ es una función del tiempo así que sí, has derivado bien. ¿Porqué lo preguntas, no cuadra con alguna otra cosa?

[alexpglez]

Re: derivadas de los vectores unitarios esféricos

Pues lo que estoy intentando demostrar es bastante largo, cuando acabe de pasarlo a limpio lo pongo en una foto, no soy muy veloz en latex.. básicamente sería demostrar lo que viene aquí en el apartado de kinematics el último. http://en.wikipedia.org/wiki/Spheric...tem#Kinematics

- - - Actualizado - - -

Buenas, he marcado en rojo los términos que me faltan o me sobran.



Parece que transforma ese término que no encaja en esos dos...

- - - Actualizado - - -

Vale, ya lo vi, si intentas escribir el vector sobrante como una combinación lineal, de los vectores de la base, te queda ese resultado.
Gracias weip otra vez por ayudarme.

[Breogan]

Re: derivadas de los vectores unitarios esféricos

Hola:

Lo que sigue no se si te puede ayudar en algo, confieso que lo hago solo por diversión y no espero un gran resultado.
Voy tratando de recordar algo de matrices.

Partimos de la transformación entre las bases de las coordenadas esféricas y cartesianas:

$\dst E = \begin{pmatrix}\hat r \\ \hat \theta \\ \hat \varphi \end{pmatrix}$

$\dst C = \begin{pmatrix}\hat{\imath} \\ \hat{\jmath} \\ \hat k \end{pmatrix}$

quedando que:

$\dst E = A C$

donde:

$\dst A = \begin{pmatrix} sen \theta cos \varphi & sen \theta sen \varphi & cos \theta \\ cos \theta cos \varphi & cos \theta sen \varphi & - sen \theta \\ -sen \varphi & cos \varphi & 0 \end{pmatrix}$

El vector posición en coordenadas esféricas esta dado por:

$\dst \vec r = r \hat r = r \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{=S} \begin{pmatrix} \hat r \\ \hat \theta \\ \hat \varphi \end{pmatrix} = r S E = r S A C$

Derivando esta respecto del tiempo se obtiene la velocidad, se debe tener en cuenta que S y C son constantes, r y A son variables, por lo tanto:

$\dst \vec v = \frac{\mathrm{d} \vec r }{\mathrm{d} t } = \frac{\mathrm{d} r }{\mathrm{d} t } S A C + r S \frac{\mathrm{d} A }{\mathrm{d} t } C$

$$\dst \vec v = \dot r S A C + r S \dot A C$$

$$\dst \vec v = \dot r S E + r S \dot A C$$

como $\dst \dot A = \frac{\mathrm{d} A }{\mathrm{d} t }$ entonces tenemos:

$\dst \dot A = \left( \begin{aligned} cos \theta \dot \theta cos \varphi - sen \theta sen \varphi \dot \varphi \\ - sen \theta \dot \theta cos \varphi - cos \theta sen \varphi \dot \varphi \\ - cos \varphi \dot \varphi \end{aligned}$ $\dst . \hspace{2 cm} \begin{aligned} cos \theta \dot \theta sen \varphi + sen \theta cos\varphi \dot \varphi \\ -sen \theta \dot \theta sen \varphi + cos \theta cos \varphi \dot \varphi \\ - sen \varphi \dot \varphi \end{aligned}$ $\dst . \hspace{2 cm} \left{} \begin{aligned} - sen \theta \dot \theta \\ - cos \theta \dot \theta \\ 0 \end{aligned} \right)$

Uf, me costo mucho poner el paréntesis derecho en la matriz anterior. Dicha matriz la podemos dividir en dos, tal que:

$\dst \dot A = A_1 + A_2$

donde:

$\dst A_1 = \dot \theta \begin{pmatrix} cos \theta cos \varphi & cos \theta sen \varphi & - sen \theta \\ - sen \theta cos \varphi & - sen \theta sen \varphi & - cos \theta \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

La cual se puede escribir como:

$\dst A_1 = \dot \theta \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{=P_1}$$\dst \underbrace{\begin{pmatrix} sen \theta cos \varphi & sen \theta sen \varphi & cos \theta \\ cos \theta cos \varphi & cos \theta sen \varphi & - sen \theta \\ -sen \varphi & cos \varphi & 0 \end{pmatrix}}_{=A}$

$\dst A_1 = \dot \theta P_1 A$

y

$\dst A_2 = \dot \varphi \begin{pmatrix} - sen \theta sen \varphi & sen \theta cos \varphi & 0 \\ - cos \theta sen \varphi & cos \theta cos \varphi & 0 \\ - cos \varphi & - sen \varphi & 0 \end{pmatrix}$

La cual se puede escribir como:

$\dst A_2 = \dot \varphi$$\dst \underbrace{\begin{pmatrix} sen \theta cos \varphi & sen \theta sen \varphi & cos \theta \\ cos \theta cos \varphi & cos \theta sen \varphi & - sen \theta \\ -sen \varphi & cos \varphi & 0 \end{pmatrix}}_{=A}$$\dst \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{=P_1}$

$\dst A_2 = \dot \varphi A P_1$

Por lo cual finalmente queda:

$\dst \dot A = \dot \theta P_1 A + \dot \varphi A P_1$

Reemplazando en la (2):

$\dst \vec v = \dot r S E + r S (\dot \theta P_1 A + \dot \varphi A P_1) C = \dot r S E + r \dot \theta S P_1 A C + r \dot \varphi S A P_1 C$

$$\dst \vec v = \dot r S E + r \dot \theta S P_1 E + r \dot \varphi S A P_1 A^{-1} E$$

$\dst S E = \hat r \quad ; \quad S P_1 E = \hat \theta \quad ; \quad A P_1 A^{-1} E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & sen \theta \\ 0 & 0 & cos \theta \\ - sen \theta & - cos \theta & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat r \\ \hat \theta \\ \hat \varphi \end{pmatrix}$$\dst = \begin{pmatrix} sen \theta \hat \varphi \\ cos \theta \hat \varphi \\ - sen \theta \hat r - cos \theta \hat \theta \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad S A P_1 A^{-1} E = sen \theta \hat \varphi$

Quedando finalmente:

$\boxed{\dst \vec v = \dot r \hat r + r \dot \theta \hat \theta + r \dot \varphi sen \theta \hat \varphi}$

Reescribiendo la (3):

$\dst \vec v = \dot r S A C + r \dot \theta S P_1 A C + r \dot \varphi S A P_1 C$

Derivando esta respecto del tiempo obtenemos la aceleración:

$\dst \vec a = \ddot r S A C + \dot r S \dot A C + \dot r \dot \theta S P_1 A C + r \ddot \theta S P_1 A C + r \dot \theta S P_1 \dot A C$$\dst + \dot r \dot \varphi S A P_1 C + r \ddot \varphi S A P_1 C + r \dot \varphi S \dot A P_1 C$

Usando el resultado anterior para la derivada de A:

$\dst \vec a = \ddot r S E + \dot r S (\dot \theta P_1 A + \dot \varphi A P_1) A^{-1} E + \dot r \dot \theta S P_1 E + r \ddot \theta S P_1 E + r \dot \theta S P_1 (\dot \theta P_1 A + \dot \varphi A P_1) A^{-1} E$$\dst + \dot r \dot \varphi S A P_1 A^{-1} E + r \ddot \varphi S A P_1 A^{-1} E + r \dot \varphi S (\dot \theta P_1 A + \dot \varphi A P_1) P_1 A^{-1} E$

Desarrollando:

$\dst \vec a = \ddot r S E + \dot r \dot \theta S P_1 A A^{-1} E+ \dot r \dot \varphi S A P_1 A^{-1} E$$+ \dot r \dot \theta S P_1 E + r \ddot \theta S P_1 E + r \dot \theta \dot \theta S P_1 P_1 A A^{-1} E + r \dot \theta \dot \varphi S P_1 A P_1 A^{-1} E$$\dst + \dot r \dot \varphi S A P_1 A^{-1} E + r \ddot \varphi S A P_1 A^{-1} E + r \dot \varphi \dot \theta S P_1 A P_1 A^{-1} E + r \dot \varphi \dot \varphi S A P_1 P_1 A^{-1} E$

Usando resultados anteriores tenemos:

$\dst \vec a = \ddot r \hat r + \dot r \dot \theta \hat \theta+ \dot r \dot \varphi sen \theta \hat \varphi$$+ \dot r \dot \theta \hat \theta + r \ddot \theta \hat \theta + r \dot \theta \dot \theta S P_1 P_1 E + r \dot \theta \dot \varphi S P_1 A P_1 A^{-1} E$$\dst + \dot r \dot \varphi sen \theta \hat \varphi + r \ddot \varphi sen \theta \hat \varphi + r \dot \varphi \dot \theta S P_1 A P_1 A^{-1} E + r \dot \varphi ^2 S A P_1 P_1 A^{-1} E$


$\dst \vec a = \ddot r \hat r + (2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta) \hat \theta+ (2 \dot r \dot \varphi sen \theta + r \ddot \varphi sen \theta) \hat \varphi$$+ r \dot \theta \dot \theta S P_1 P_1 E + r \dot \theta \dot \varphi S P_1 A P_1 A^{-1} E$$\dst + r \dot \varphi \dot \theta S P_1 A P_1 A^{-1} E + r \dot \varphi ^2 S A P_1 P_1 A^{-1} E$


$\dst s P_1 P_1 E = - \hat r \quad ; \quad S P_1 A P_1 A^{-1} E = cos \theta \hat \varphi \quad ; \quad S A P_1 P_1 A^{-1} E = - sen^2 \theta \hat r - sen \theta cos \theta \hat \theta$


$\dst \vec a = \ddot r \hat r + (2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta) \hat \theta+ (2 \dot r \dot \varphi sen \theta + r \ddot \varphi sen \theta) \hat \varphi$$- r \dot \theta \dot \theta \hat r + r \dot \theta \dot \varphi cos \theta \hat \varphi$$\dst + r \dot \varphi \dot \theta cos \theta \hat \varphi + r \dot \varphi ^2 (- sen^2 \theta \hat r - sen \theta cos \theta \hat \theta)$

Reagrupando:

$\dst \vec a = (\ddot r - r \dot \theta^2 -r \dot \varphi ^2 sen^2 \theta) \hat r + (2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta - r \dot \varphi ^2 sen \theta cos \theta) \hat \theta$$+ (2 \dot r \dot \varphi sen \theta + r \ddot \varphi sen \theta + 2 r \dot \theta \dot \varphi cos \theta) \hat \varphi$

Bueno al final llegue al resultado, aunque el procedimiento es un verdadero incordio. Supongo que hay alguna propiedad de las matrices, que yo no recuerdo y que podrían hacer el procedimiento mucho mas sencillo.
El procedimiento tradicional es mucho mas fácil.

s.e.u.o.

Suerte

[Weip]

Re: derivadas de los vectores unitarios esféricos

Nunca lo había visto con matrices, aunque como dices se alarga mucho la cosa.

[alexpglez]

Re: derivadas de los vectores unitarios esféricos

Parece que se alarga bastante pero se llega al mismo resultado, tendría que ver antes matrices y vectores más formalmente, aunque lo entendí, parece bastante intuitivo. Gracias.