Secundaria Sistemas II

[The Higgs Particle]

Estudia el sistema según el parámetro $m$:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

No sé ni por dónde atacarlo. Para empezar no entiendo, si hay tres incógnitas, por qué me aparecen cuatro ecuaciones (independientes unas de otras). Además, al no ser una matriz cuadrada $A$, tampoco sé cómo calcular el rango (es muy pesado tener que estar probando todas las combinaciones posibles), lo que me lleva a pensar que este problema se resuelve de otra forma.

[pilimafiqui]

Re: Sistemas II

Tienes que empezar con los coeficientes de todo, es decir los de x,y,z y los del termino independiente, así te queda una matriz de 4x4. Para los valores que te da ese determinante es con lo que tienes que trabajar.
Para esos valores distinto de cero el rango de la matriz ampliada es 4 y como la matriz normal no puede tener rango 4 , el sistema sería incompatible (sin solución)
Para los otros valores tienes que sustituir e ir calculando los posibles rangos

[The Higgs Particle]

Re: Sistemas II

Tienes que empezar con los coeficientes de todo, es decir los de x,y,z y los del termino independiente

No entiendo por qué tengo que hacer eso. Tenía entendido que esos valores sólo se incluían al escribir la matriz ampliada.

[Weip]

Re: Sistemas II

Estudia el sistema según el parámetro $m$:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

No sé ni por dónde atacarlo. Para empezar no entiendo, si hay tres incógnitas, por qué me aparecen cuatro ecuaciones (independientes unas de otras). Además, al no ser una matriz cuadrada $A$, tampoco sé cómo calcular el rango (es muy pesado tener que estar probando todas las combinaciones posibles), lo que me lleva a pensar que este problema se resuelve de otra forma.

El rango de una matriz que no es cuadrada no tiene ningún problema. Los métodos que te han enseñado funcionan bien. Otra cosa, las cuatro ecuaciones no son independientes las unas de las otras. Es decir, sobra una.

Teniendo en cuenta esto, hazlo como si de un sistema normal y corriente se tratase. Es pesado la verdad, pero siguiendo los procedimientos "estándares" llegarás a la solución.

[The Higgs Particle]

Re: Sistemas II

Vale, a ver qué me sale:

$A = \left(\begin{array}{rrr}m & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 6 & -1 & 1\end{array}\right)$

Vamos con los determinantes posibles:

$\left|\begin{array}{rrr}m & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{array}\right| = 4$ (Distinto de cero e independiente del valor de $m$). Por lo tanto, independientemente de $m \to Rang (A) = 3$

Estudiamos entonces ${A}^{*}$:

${A }^{*}= \left(\begin{array}{rrrr}m & 1 & 1 & {m}^{2} \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 1 \\ 6 & -1 & 1 & 3m\end{array}\right)$; $|{A}^{*}| = - \left|\begin{array}{rrrr}1 & m & 1 & {m}^{2} \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & -1 & 1 \\ -1 & 6 & 1 & 3m\end{array}\right|$ (He permutado las dos primeras columnas).

Ahora hago $\to {F'}_{2} = {F}_{2} + {F}_{1}$; ${F'}_{3} = {F}_{3} + {F}_{1}$; ${F'}_{4} = {F}_{4} + {F}_{1} \to$ $- \left|\begin{array}{rrrr}1 & m & 1 & {m}^{2} \\ 0 & m+1 & 2 & {m}^{2} + 1 \\ 0 & m+3 & 0 & {m}^{2} + 1 \\ 0 & 6 + m & 2 & 3m + {m}^{2}\end{array}\right|$ $= -\left|\begin{array}{rrr} m+1 & 2 & {m}^{2} + 1 \\ m+3 & 0 & {m}^{2} + 1 \\ 6 + m & 2 & 3m + {m}^{2}\end{array}\right|$ $= - {(-1)}^{3} \cdot 2 \cdot \left|\begin{array}{rr} m+3 & {m}^{2} + 1 \\ 6 + m & 3m + {m}^{2}\end{array}\right|$ $- {(-1)}^{5} \cdot 2 \cdot \left|\begin{array}{rr} m+1 & {m}^{2} + 1 \\ 3 + m & 3m + {m}^{2}\end{array}\right|$ $= 2 \cdot (8m - 6) + 2 \cdot ({m}^{2} + 2m -3) = {m}^{2} + 10m - 9$...



He tenido que cometer algún error, pues $m =2$, y no los dos resultados que me salen a mí de igualar la ecuación de segundo grado a cero...

- - - Actualizado - - -

Aclaro: $m$ debe hacer 0 a este determinante, puesto que sino, $Rang{A}^{*} = 4 \neq Rang(A)$, y tendría un $SI$.

[Weip]

Re: Sistemas II

Vale, a ver qué me sale:
$|A| = \left|\begin{array}{rrr}m & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 6 & -1 & 1\end{array}\right|$.

Esto es lo que suelo llamar crimen matemático. Ya debes saber porqué xD.

Lo siento ahora no tengo mucho tiempo. En todo caso entre hoy y mañana seguro que alguien te ayudará con las cuentas.

[The Higgs Particle]

Re: Sistemas II

Esto es lo que suelo llamar crimen matemático. Ya debes saber porqué xD

Pues ahora mismo no caigo, pero me espero cualquier cosa

[angel relativamente]

Re: Sistemas II

Pues ahora mismo no caigo, pero me espero cualquier cosa

Te refresco: Busca en tus apuntes dónde te han definido el determinante de una matriz no cuadrada

Con respecto a los cálculos, me he quedado en el primer determinante. A mí no me queda 4 independientemente de m, revísalo.

Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Sistemas II

Te refresco: Busca en tus apuntes dónde te han definido el determinante de una matriz no cuadrada

El problema es que no me lo han definido xD

[angel relativamente]

Re: Sistemas II

El problema es que no me lo han definido xD

Bueno una definición simple es la recurrente: Defines el determinante de una matriz 1x1 como su único coeficiente y entonces das la relación de recurrencia por el método de menores que te relaciona el det de orden n con determinantes de orden n-1. Con eso ya bastaría pues aplicando la misma relación podrías dejarlo todo como sumas de determinantes de orden 1 multiplicados por respectivos coeficientes. No obstante, cuando se habla de determinante de orden n hace referencia al determinante de una matriz cuadrada de orden n, no está definido para matrices no cuadradas. Por eso ponerle barras de determinante a una matriz no cuadrada es tan crimen matemático como poner que un racional se puede escribir de la forma $p/q$, con p,q enteros y NO especificar que q tiene que ser distinto de cero

[The Higgs Particle]

Re: Sistemas II

¡Bien saberlo!

- - - Actualizado - - -

A mí no me queda 4 independientemente de m

$\left|\begin{array}{rrr}m & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{array}\right| = +m +3 -1 -(-3 -m -1) = m +2 +4 + m = 6 + 2m$

Pero la verdad es que no entiendo muy bien por qué cogí ese, que contiene a $m$, pudiendo usar:

$\left|\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 6 & -1 & 1 \end{array}\right| = -1 +6 -3 - (-6 +1 -3) = 2 + 8 = 10 \neq 0$

- - - Actualizado - - -

El fallo, de todas formas, lo tenía al final:

$|{A}^{*}| = {(-1)}^{3} \cdot 2 \cdot \left|\begin{array}{rr} m+3 & {m}^{2} + 1 \\ 6 + m & 3m + {m}^{2}\end{array}\right| - {(-1)}^{5} \cdot 2 \cdot \left|\begin{array}{rr} m+1 & {m}^{2} + 1 \\ 3 + m & 3m + {m}^{2}\end{array}\right|$, puesto que la última matriz no es $\left|\begin{array}{rr} m+1 & {m}^{2} + 1 \\ 3 + m & 3m + {m}^{2}\end{array}\right|$, sino $\left|\begin{array}{rr} m+1 & {m}^{2} + 1 \\ 3 + m & 1 + {m}^{2}\end{array}\right|$.

Por lo tanto, quedaba:

$|{A}^{*}| = {(m - 2)}^{2} \to |{A}^{*}| = 0 \Leftrightarrow m = 2$

Podemos concluir entonces:

• Si $m = 2 \to Rang ({A}^{*}) = Rang (A) = n = 3$. Por lo tanto, es un $\boxed{SCD}$
• Si $m \neq 2 \to Rang({A}^{*}) > Rang (A)$. Es entonces un $\boxed{SI}$