Secundaria Rango de una matriz

[The Higgs Particle]

Dada la matriz $A$, calcula el rango.

$A = \left(\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & -7 \\ 3 & -2 & 1 & 17 \\ 0 & 1 & 1 & -4\end{array}\right)$

Se ve que ${c}_{3} = {c}_{1} + {c}_{2}$, por lo que la puedo eliminar, pasando a:

$A = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4\end{array}\right)$

Igualmente, ${F}_{4} = {F}_{2} - 4 {F}_{5}$, de forma que nos queda:

$A = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 0 & 1 & -4\end{array}\right)$

Ahora buscamos las matrices de orden 3 y calculamos sus determinantes:

$|{A}_{1}| = \left|\begin{array}{rrr}2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \end{array}\right| = 0$; [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ; $|{A}_{3}| = \left|\begin{array}{rrr}2 & 1 & 2 \\-1 & 1 & -7 \\ 0 & 1 & -4\end{array}\right| = 0$; $|{A}_{4}| = \left|\begin{array}{rrr}3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 0 & 1 & -4\end{array}\right| = 0$

Sin embargo, $|{A}_{0}|= \left|\begin{array}{rr}2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right| \neq 0$

Por lo tanto, al ser todos los determinantes de orden $3$ nulos, y los de orden $2$ distintos de , podemos afirmar que $Rang (A) = 2$



¿Es correcto?

[Weip]

Re: Rango de una matriz

Diría que sí. No he calculado todos los determinantes de orden 3 pero si todos dan cero, pues está bien.

[The Higgs Particle]

Re: Rango de una matriz

Y si no me hubiera dado cuenta de que existen esas combinaciones de columnas y filas, tendría que haber ido cogiendo determinantes más pequeños. Es decir,
[FONT=Verdana]
$\left|\begin{array}{rrrr} 3 & 2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & -7 \\ 3 & -2 & 1 & 17 \\ 0 & 1 & 1 & -14 \end{array}\right| =$ $- (- )\left|\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 0 & 7 \\ 3 & 2 & 5 & 1 \\ 3 & -2 & 1 & 17 \\ 0 & 1 & 1 & -14 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 0 & -7 \\ 3 & 2 & 5 & 1 \\ 3 & -2 & 1 & 17 \\ 0 & 1 & 1 & -14 \end{array}\right|$ (he permutado las dos primeras filas y cambiado el signo de una de ellas).

(II) Haciendo ahora $\to {F}_{3}' = {F}_{3} - {F}_{2}$; ${F}_{2}'={F}_{2} - 3 {F}_{1} \to$ $\left|\begin{array}{rrrr} -1 & 1 & 0 & -7 \\ 0 & 5 & 5 & -21 \\ 0 & -4 & -4 & 16 \\ 0 & 1 & 1 & -4 \end{array}\right| =$ $\left|\begin{array}{rrr} 5 & 5 & 21 \\ -4 & -4 & 16 \\ 1 & 1 & -4 \end{array}\right| = 4$[/FONT]$\left|\begin{array}{rrr} 5 & 5 & 21 \\ -1 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & -4 \end{array}\right|$[FONT=Verdana], donde tenemos que ${F}_{3} = -{F}_{4}$, por lo que $4$[/FONT]$\left|\begin{array}{rrr} 5 & 5 & 21 \\ -1 & -1 & 4 \\1 & 1 & -4 \end{array}\right| = 0$, y sacando de esa matriz reducida un determinante $2 \times 2$: $\left|\begin{array}{rrr} 5 & 21 \\ -1 & 4 \end{array}\right| \neq 0$

[FONT=Verdana]Por ello, $\boxed{Rang (A) = 2}$
[/FONT]

[FONT=Verdana]
Mis dudas son:

1. ¿Es el procedimiento [/FONT][FONT=Verdana](no el resultado) [/FONT][FONT=Verdana]correcto? (sobre todo en (II)).
2. Suponiendo que en el resto de matrices ocurre lo mismo, ¿podríamos concluir que el rango es 2 basándonos en el hecho de que el determinante $4 \times 4$ inicial se ha ido reduciendo hasta uno $2 \times 2$ distinto de cero?
3. Cuando, al final del todo, he sacado a partir de la matriz $3 \times 3$ que era igual a cero una de orden 2, ¿debería haber conservado el $4$ multiplicando al determinante?[/FONT]

[gdonoso94]

Re: Rango de una matriz

Hola THP:

1.- Yo lo veo bien.
2.- Sí.
3.- Si lo que quieres calcular es el determinante, sí. En este caso sólo te interesaba el rango, así que no hace falta.

Salud!