Divulgación Producto "vectorial" en n dimensiones

[alexpglez]

Hola, hace poco leí que el producto vectorial se puede expresar también así:

$$\vec a=(a_1,a_2,a_3)$$

$$\vec b=(b_1,b_2,b_3)$$

$$\vec a \times \vec b=[\vec a]_{x} \vec b=<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0 & -a_3 & a_2 \\<br /> a_3 & 0 & -a_1 \\<br /> -a_2 & a_1 & 0<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix} <br /> b_1 \\ <br /> b_2 \\<br /> b_3 <br /> \end{pmatrix}$$

Y que con esta forma de escribir el producto vectorial, se podía generalizar a varias dimensiones.
¿Cómo se generaliza entonces? ¿Cuál es la fórmula para a partir de un vector de dimensión n sacar la matriz antisimétrica para hacer el producto?
¿Y cómo se generalizan distintas cantidades vectoriales en física para relatividad especial que provienen de hacer un producto vectorial en 3D, cómo el momento angular?

Un saludo

[Weip]

Re: Producto &quot;vectorial&quot; en n dimensiones

Generalizar un producto vectorial no es nada fácil. Tienes que pensar que detrás del simple cálculo hay varias ramas de las matemáticas involucradas. Te dejo este enlace en el que se habla de esto de forma entendible. Dentro de el enlace que te he puesto hay otro que te lleva a un artículo técnico que habla del tema. Leételo, además es corto. Para calcular la matriz correspondiente tendrías que encontrarla a partir de la expresión general del producto vectorial en $\mathbb{R}^7$ al igual que haces con la de $\mathbb{R}^3$.

En cuanto a lo de la relatividad especial, pues has de poner tu magnitud física en forma tensorial y ya lo tienes.

Espero haberte ayudado.