Secundaria Matrices y Recurrencia

[The Higgs Particle]

Si yo tengo $A = \left(\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$, y me piden demostrar que $A^n = {2}^{n-1} \cdot A$, ¿no vale con poner, por ejemplo, las tres primeras potencias, sacar la ley de recurrencia y ver que coincide con la fórmula del enunciado?

[arivasm]

Re: Matrices y Recurrencia

Y por qué no por inducción?

[The Higgs Particle]

Re: Matrices y Recurrencia

A mí me han puesto el ejemplo de tomar $n-1$, y verlo así, pero dudo si sería suficiente con ponerlo con la de recurrencia o es necesario algo más.

¿Cómo sería por inducción?

[arivasm]

Re: Matrices y Recurrencia

Yo creo que por inducción es muy sencillo. Para $n=1$ es evidente que se cumple la relación. A continuación admites que, para $n\geq 1$, $\dst A^{n-1} = 2^{n-2} \cdot A=\left(\begin{array}{rr} 2^{n-2} & 2^{n-2} \\ 2^{n-2} & 2^{n-2}\end{array}\right)$ y entonces compruebas, haciendo el producto $A^{n-1}\cdot A$ que $A^n=2^{n-1} A$. De esa manera es un simple ejercicio de producto de matrices.

[Weip]

Re: Matrices y Recurrencia

Y por qué no por inducción?

Por inducción es muy sencillo pero si no lo han dado en clase entonces yo aconsejaría otro método.

Si yo tengo $A = \left(\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$, y me piden demostrar que $A^n = {2}^{n-1} \cdot A$, ¿no vale con poner, por ejemplo, las tres primeras potencias, sacar la ley de recurrencia y ver que coincide con la fórmula del enunciado?

Sí, si no habéis dado inducción pues esta sería la forma correcta de hacer el ejercicio. Personalmente no me gusta nada este método porque solo revisa unos cuantos casos particulares, pero así resolvían los problemas de selectividad los matemáticos encargados en mi comunidad autónoma, así que...

[Breogan]

Re: Matrices y Recurrencia

Hola:

Si yo tengo $A = \left(\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$, y me piden demostrar que $A^n = {2}^{n-1} \cdot A$, ¿no vale con poner, por ejemplo, las tres primeras potencias, sacar la ley de recurrencia y ver que coincide con la fórmula del enunciado?

En sentido estricto lo que propones no se puede llamar "demostración", evidentemente para valores del exponente mayores que el ultimo que evaluaste no se puede garantizar que cumpla la ley de recurrencia propuesta.
Te propongo una forma de hacerlo que no es tan diferente a la inducción, pero que creo que es la correcta en este caso para tu nivel.

Primero se demuestra (haciendo el producto de matrices) que:

$\dst A^2 = 2 \ A$

Con este resultado se plantea que:

$\dst A^n = A^{n-2} \ A^2 = A^{n-2} \ 2 \ A = 2 \ A^{n-1}$

Y ahora con esta formula de recurrencia y contando sus sucesivas aplicaciones podes llegar a lo siguiente:

$\dst A^n = 2 \ A^{n-1} = 2 \ 2 \ A^{n-2} =.........= \underbrace{2 \ 2 \ ...... \ 2}_{(n-1) \ veces} \ A = 2^{n-1} \ A$

.......Personalmente no me gusta nada este método porque solo revisa unos cuantos casos particulares, pero así resolvían los problemas de selectividad los matemáticos encargados en mi comunidad autónoma, así que...

Realmente me sorprende y un poco me asusta esta afirmación ...

s.e.u.o.

Suerte