1r ciclo Producto escalar de gradiente por vector normal

[kuvala]

Hola Buenas :

La duda es la siguiente: ¿Por qué se cumple esta relación? ¿Hay alguna demostración para ello?

$\nabla T\cdot \vec{n}=\dfrac{\partial T}{\partial n}$

En la expresión anterior $T$ es un campo de temperaturas bidimensional y $\vec{n}$ es el vector normal a una curva. Lo que no entiendo es por qué ese producto escalar es igual a la parcial de $T$ con respecto a la dirección normal.

La expresión $\nabla T\cdot \vec{n}$ me ha surgido de calcular el flujo de calor a través de una superficie (en este caso, una esfera). Yo inicialmente había hecho el producto escalar del gradiente por el vector normal, siendo ese vector $\vec{n}=[\cos\theta, \quad \sin\theta]$ pero me han comentado que en lugar de hacer ese producto escalar, es mejor usar la relación de la cual tengo duda.

Muchas gracias

Un Saludo

[Weip]

Re: Producto escalar de gradiente por vector normal

Se cumple para todos los campo escalares así que te contesto pensando en un campo escalar $f$. De hecho esto sirve en general usando una derivada direccional (sin importar dirección). ¿Como se define la derivada direccional? De la siguiente forma (ten en cuenta que $f$ ha de ser diferenciable y $u$ unitario):

$\dst\frac{\partial f}{\partial u}(a)=\dst\lim_{t \to 0}\dst\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}=\dst\sum_{k = 1}^n \dst\frac{\partial f}{\partial x_k}(a) u_k$

Fíjate que ahora puedes cambiar un poco el aspecto de la expresión para que aparezca el gradiente de $f$. Denotando por $\cdot$ el producto escalar:

$\dst\sum_{k = 1}^n \dst\frac{\partial f}{\partial x_k}(a) u_k=\dst\frac{\partial f}{\partial x_1}u_1+...+\dst\frac{\partial f}{\partial x_n}u_n=\nabla f \cdot u$

Y ya está, no tiene más misterio.

Espero haberte ayudado.

[kuvala]

Re: Producto escalar de gradiente por vector normal

Muchas gracias por responder

He estado buscando en los apuntes de matemáticas y al parecer es algo que debería saber pero no sé si es que no me lo explicaron bien, o es que fui yo el que no se enteró o simplemente no me acordaba de eso. Espero que ya no se me vuelva a olvidar jajaja. Por cierto, cuando pones $\dfrac{\partial f}{\partial u}$, la $u$ del denominador se refiere a la dirección que sigue el vector $\vec{u}$ , ¿no? Es decir, entiendo que es "la variación de f con respecto a una variación que sufre en la dirección u"

[Weip]

Re: Producto escalar de gradiente por vector normal

Por cierto, cuando pones $\dfrac{\partial f}{\partial u}$, la $u$ del denominador se refiere a la dirección que sigue el vector $\vec{u}$ , ¿no? Es decir, entiendo que es "la variación de f con respecto a una variación que sufre en la dirección u"

Sí sí, es un vector, lo que pasa es que si se entiende por contexto no se lo suelo poner. Pero sí, iría con flechita. Lo mismo para la $a$.