Secundaria Vectores linealmente independientes

[The Higgs Particle]

Hola, no sé cómo resolver este ejercicio:

"Razona que si los vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ son linealmente independientes, también lo son los vectores $\vec{u}, \vec{u} + \vec{v}, \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$ ".

Me he quedado en: Si son linealmente independientes, $a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{v} + c \cdot \vec{w} = 0 \Leftrightarrow a = b = c = 0$, pero no sé cómo hacer las demás...

[angel relativamente]

Re: Vectores linealmente independientes

¿Has probado con: "Si 3 vectores son linealmente independientes su determiante es no nulo" ?

[The Higgs Particle]

Re: Vectores linealmente independientes

Pero para hacer el determinante tendría que poner las coordenadas de cada uno, lo cual es un poco lioso, ¿no?

[Weip]

Re: Vectores linealmente independientes

Pero para hacer el determinante tendría que poner las coordenadas de cada uno, lo cual es un poco lioso, ¿no?

No lo pongas coordenada a coordenada, es decir, escribe $det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ y ya está. Usa las propiedades de los determinantes para intentar que te quede $det (\vec{u}, \vec{u} + \vec{v}, \vec{u} + \vec{v} + \vec{w})\neq 0$. O si quieres ponlo con componentes y usa que si a los elementos de una fila le sumas los elementos de otra multiplicada por un real, el determinante no varía.

[Breogan]

Re: Vectores linealmente independientes

Hola:

Yo voy a tratar de aportar un camino alternativo al que ya te dieron.
Primero haces una combinación lineal de los vectores dados igualada a cero:

$\dst a_1 \ \vec u + a_2 \ ( \vec u + \vec v) + a_3 \ ( \vec u + \vec v + \vec w) = \vec 0$

donde los $a_i \ con \ i = 1 ; 2 ; 3$ son constantes arbitrarias.

Operando podes llegar a una expresión de la forma:

$\dst f_1 (a_i) \ \vec u + f_2 (a_i) \ \vec v + f_3 (a_i) \ \vec w = \vec 0$

pero como los vectores $\dst \vec u : \vec v ; \vec w$ son independientes resulta que los coeficientes, simbolizados por las funciones $f_j(a_i) \ con \ i \ y \ j \ \in \ [1,3]$, deben ser nulos; quedandote un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

resolviendo dicho sistema se obtienen los valores de los $a_i$ para que se cumpla la primer ecuación, si te dan todos igual cero los vectores propuestos inicialmente son independientes.

s.e.u.o.

Suerte

PD: agrego la forma matricial (creo!!):

$\dst \begin{pmatrix} \vec x_1 \\ \vec x_2 \\ \vec x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec u \\ \vec u + \vec v \\ \vec u + \vec v + \vec w \end{pmatrix} =$$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}_{(*)} \ \begin{pmatrix} \vec u \\ \vec v \\ \vec w \end{pmatrix}$

(*): matriz de coeficientes de los vectores $(\vec x_1 ; \vec x_2 ; \vec x_3)$ en la base $( \vec u ; \vec v ; \vec w )$

s.e.u.o.

Suerte