Secundaria Ecuación del plano

[The Higgs Particle]

"Halla la ecuación del plano que pasa por $P(2, -4, 0)$ y contiene la recta $\frac{x-2}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-4}{3}$"

Para calcular la ecuación implícita de un plano necesito un punto y dos vectores.

Mi punto va a ser el que me da el problema, $P$. Uno de los vectores va a ser el de la recta, $\vec{{u}_{r}}$, que es $\vec{{u}_{r}} = (1, -1, 3)$. Saco otro punto del que me da de forma directa la recta, $P_0 (2,2,4)$, y con éste calculo el vector que me falta: $\vec{PP_0} = (0, 6, 4)$. Por lo tanto, para sacar la ecuación del plano:

$\pi \to \left|\begin{array}{rrr} x-2 & 1 & 0 \\ y + 4 & -1 & 6 \\ z & 3 & 4\end{array}\right| = 0 \to \pi \equiv -11x -2y +3z +26 = 0$


Y este resultado es incorrecto, pero no consigo ver dónde está el fallo.

[javier m]

Re: Ecuación del plano

El vector $\vec{u_r}$ no está sobre la recta (ni sobre el plano)

Buscate uno que sí, como $P_1(0,4,-2)$

Y haz $(\vec{r}-\vec{P_0})\cdot (\vec{P_0 P} \times \vec{P_1 P})=0$

[angel relativamente]

Re: Ecuación del plano

El vector $\vec{u_r}$ no está sobre la recta (ni sobre el plano)

Diría que sí está, es el vector director de la recta. De hecho es el vector que une los puntos $(2,2,4)$ y $(1,3,1)$ que claramente puedes comprobar que son de la recta (quizá lo hayas confundido con el punto $(1,-1,3)$, pero en el bachillerato hay mucha imprecisión con esto de los puntos y vectores ).

Y este resultado es incorrecto, pero no consigo ver dónde está el fallo.

Pues yo diría que todo es correcto salvo el determinante final. Lo he hecho rápido y me sale el término independiente 14 en vez de 26, revisa si es eso.

Saludos

PD: Quizá lo sepas y solamente lo hayas omitido aquí, pero habría que verificar que el punto P no está en la recta para que los dos vectores que tomas sean independientes. No está de más escribirlo antes aunque se vea claro.

[Breogan]

Re: Ecuación del plano

Hola:

Mucho no me acuerdo, pero creo que el determinante que usas no esta bien.
Copio la ecuación de la recta, y el punto:

$P_1 (2, -4, 0)$

$\dst \frac{x-2}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-4}{3}$

Primero se ve que el punto no pertenece a la recta, reemplazando x1 e y1 en le ec. de la recta ya se ve que no la satisface, por lo cual P1 no pertenece a ella.
Ahora como ya hiciste en tu post hallamos los dos vectores que necesitamos, para eso partimos del punto $P_0(2,2,4)$ que pertenece a la recta y llegamos a lo siguiente:

$\dst Vector \ paralelo \ a \ la \ recta : \quad \vec u_r =(1,-1,3)$

$\dst Vector \ a \ partir \ de \ dos \ puntos: \quad \vec u_1 = \vec{P_1P_0} = (0,-6,-4)$

$P_0(2,2,4)$

Y la ecuación vectorial del plano es:

$\dst \vec r = \vec r_0 + \lambda_1 \vec u_r + \lambda_2 \vec u_1$

$\dst (x,y,z) = (2,2,4) + \lambda_1 (1,-1,3) + \lambda_2 (0,-6,-4)$

De esta igualdad vectorial se obtienen tres identidades escalares:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Operando:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El determinante de la matriz ampliada es:

$\dst \left| \begin{array}{rrr} (x-2) & 1 & 0 \\ (y-2) & -1 & -6 \\ (z-4) & 3 & -4 \end{array} \right| =$$\dst (x-2) \left| \begin{array}{rr} -1 & -6 \\ 3 & -4 \end{array} \right| - (y-2) \left| \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 3 & -4 \end{array} \right| + (z-4) \left| \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -1 & -6 \end{array} \right| = 0$

$\dst (x-2) (4 + 18) - (y-2) (-4) + (z-4) (-6) = 0$

y por ultimo:

$\dst 22 \ (x-2) + 4 \ (y-2) - 6 \ (z-4) = 0$

Si no me equivoque esta es la ecuación del plano pedida. Revisalo porque hace mucho que vi este tipo de problemas, y no se si lo que plantee esta del todo bien.

s.e.u.o.

Suerte

[angel relativamente]

Re: Ecuación del plano

Si no me equivoque esta es la ecuación del plano pedida. Revisalo porque hace mucho que vi este tipo de problemas, y no se si lo que plantee esta del todo bien.

s.e.u.o.

Suerte

Breogan, te invito a que calcules el determinante que propone THP y veas que al igualarlo a 0 queda la misma ecuación del plano. La única diferencia en tu planteamiento es que has tomado un punto distinto. Tú has cogido el que hallas a partir de la recta y ella ha cogido el que el enunciado le propone. Ambas opciones llegarán a lo mismo porque lo único que estás imponiendo es que los vectores que unen un punto arbitrario $(x,y,z)$ con un punto dado sean dependientes de tus dos vectores.

Saludos

[Breogan]

Re: Ecuación del plano

Hola:

Ni me di cuenta cuando lo leí que había usado P1 en lugar de P0 (según mi notación), eso me pasa por hacer una lectura descuidada (siendo generoso ;-) ....).

Evidentemente el resultado debe ser el mismo cualquiera sea el punto que tomes como P0, siempre y cuando este pertenezca al plano.
Termino de simplificar la ec. del plano de mi mensaje anterior:

$\dst 22 \ (x-2) + 4 \ (y-2) - 6 \ (z-4) = 0$

$\dst 22 \ x-44 + 4 \ y-8 - 6 \ z+24 = 0$

$\dst 22 \ x + 4 \ y - 6 \ z-28 = 0$

$\dst 11 \ x + 2 \ y - 3 \ z-14 = 0$

Que se ve que es distinto al resultado de The Higgs Particle:

$\dst -11x -2y +3z +26 = 0$

en el termino independiente. Evidentemente alguno (o los dos) esta equivocado.

s.e.u.o.

Suerte.

[The Higgs Particle]

Re: Ecuación del plano

Si me habré equivocado, pero no logro ver dónde (conociéndome, en cualquier cosa ):

$\left|\begin{array}{rrr} x-2 & 1 & 0 \\ y + 4 & -1 & 6 \\ z & 3 & 4\end{array}\right| =$ $-4 (x-2) +6z - (18 (x-2) + 4(y+4)) = -4x + 8 +6z -18x +36 - 4y -16$ $= - 22x - 4y +6z + 28 \to \pi \equiv -11x -2y +3z + 14 = 0$