1r ciclo Como demostrar si una matriz 5x5 es diagonizable

[JPSolutions]

Hola,

Alguien podría indicarme que debo realizar para demostrar que la siguiente matriz es diagonizable?



Llevo un par de horas delante del ejercicio y no se como darle solución. Se que debería buscar para empezar el polinomio característico y a partir de ahí otras cosas... Estoy bastante desquiciado para intentarlo entender.

Gracias por vuestras explicaciones, seguro que me ayudaran a entenderlo.

Saludos!

[Richard R Richard]

Re: Como demostrar si una matriz 5x5 es diagonizable

Seguro un matemático te dara una explicacion mejor, asi que no te convenzas solo con lo que ahora te digo,
la cuestion es que una matriz diagonalizable es la que tiene todos los vectores linealmente independientes, o sea si tiene uno dependiente , se convertira en todos 0 en alguna combinacion lineal de los otros, si eso sucede el determinante de la matriz es igual a 0 , entonces si el determinante de M es distinto de 0 sera diagonalizable.

Saludos

[Weip]

Re: Como demostrar si una matriz 5x5 es diagonizable

Seguro un matemático te dara una explicacion mejor, asi que no te convenzas solo con lo que ahora te digo,
la cuestion es que una matriz diagonalizable es la que tiene todos los vectores linealmente independientes, o sea si tiene uno dependiente , se convertira en todos 0 en alguna combinacion lineal de los otros, si eso sucede el determinante de la matriz es igual a 0 , entonces si el determinante de M es distinto de 0 sera diagonalizable.

Saludos

Me parece que te refieres a que el conjunto de vectores propios ha de ser linealmente independiente. Es que tal como lo has puesto es un poco confuso.

Llevo un par de horas delante del ejercicio y no se como darle solución. Se que debería buscar para empezar el polinomio característico y a partir de ahí otras cosas... Estoy bastante desquiciado para intentarlo entender.

Hay varias formas de hacerlo pero la más directa es la que dices: buscar el polinomio característico, sacar sus raíces y luego encontrar los vectores propios. El proceso es completamente mecánico. Mira en tus apuntes para ver cómo se hace. De todas formas he puesto la matriz en el Mathematica y sale el polinomio característico es (si no me he equivocado copiando) $-32x^5 +48x^4 -12x^2+2x$. Lo lo he puesto porque la dificultad suele estar en el determinante que es donde más operaciones haces.

Si el problema está en el proceso y no en el cálculo dílo y lo miramos más detenidamente.

[carroza]

Re: Como demostrar si una matriz 5x5 es diagonizable

Seguro un matemático te dara una explicacion mejor, asi que no te convenzas solo con lo que ahora te digo,
la cuestion es que una matriz diagonalizable es la que tiene todos los vectores linealmente independientes, o sea si tiene uno dependiente , se convertira en todos 0 en alguna combinacion lineal de los otros, si eso sucede el determinante de la matriz es igual a 0 , entonces si el determinante de M es distinto de 0 sera diagonalizable.

Saludos

Entonces $\left( \begin{array}{cc}0 & 0\\<br /> 0 & 0 \end{array} \right)$[FONT=Verdana] no es diagonalizable?

Saludos[/FONT]

[Richard R Richard]

Re: Como demostrar si una matriz 5x5 es diagonizable

Para mi con los conceptos que puse en el parrafo a que haces referencia , la respuesta es no, lo mas probable es que yo entienda otra cosa por "diagonalizable" a la que ustedes expresan, que para mi es que los vectores filas sean linealmente independientes, y cuando digo se convierte en todos ceros me refiero a la fila , por expresarla como combinacion lineal de las otras y no la matriz pero a la vez Weip dio un concepto que no tengo claro y no lo discuto, si dices que si y tienes tiempo demuestramelo, por favor asi aprendo algo nuevo gracias.

De Hecho Acabo de ver wiki entonces edite , y el tema se refiere a una matriz que se reduce a una matriz que solo tenga elementos en la diagonal, y no solo el tringulo inferior = a 0 que es lo que yo pense, asi que mi aporte es incorrecto . Perdon

PD la matriz nula es diagonal pues $Aij= 0 \forall i\neq j$ y se cumple que $A^n=PD^nP^{-1}$ siempre que A sea nula

[Weip]

Re: Como demostrar si una matriz 5x5 es diagonizable

Para mi con los conceptos que puse en el parrafo a que haces referencia , la respuesta es no, lo mas probable es que yo entienda otra cosa por "diagonalizable" a la que ustedes expresan, que para mi es que los vectores filas sean linealmente independientes, y cuando digo se convierte en todos ceros me refiero a la fila , por expresarla como combinacion lineal de las otras y no la matriz pero a la vez Weip dio un concepto que no tengo claro y no lo discuto, si dices que si y tienes tiempo demuestramelo, por favor asi aprendo algo nuevo gracias.

De Hecho Acabo de ver wiki entonces edite , y el tema se refiere a una matriz que se reduce a una matriz que solo tenga elementos en la diagonal, y no solo el tringulo inferior = a 0 que es lo que yo pense, asi que mi aporte es incorrecto . Perdon

PD la matriz nula es diagonal pues $Aij= 0 \forall i\neq j$ y se cumple que $A^n=PD^nP^{-1}$ siempre que A sea nula

Hola. A parte de que se ve a simple vista puedes convencerte calculando los valores y vectores propios. La matriz nula de orden dos tiene valor propio cero de multiplicidad dos. El conjunto de vectores propios es $\left\{ (1, 0), (0, 1)\right\}$. Hay dos vectores propios para el valor propio cero que tiene multiplicidad dos con lo que la matriz es diagonalizable.

Otra forma de verlo es la siguiente: la matriz nula es simétrica, luego es diagonalizable.