Divulgación Consulta sobre vectores y matrices ortonormales

[inakigarber]

Buenas tardes;
En este foro en el capítulo Vectores y matrices II he encontrado un texto que no he comprendido y sobre el que quisiera ver si podéis darme una aclaración. Adjunto la imagen con el texto;

No entiendo de donde sale eso de que en una matriz ortonormal sus vectores columna deben ser unitarios. ¿Podría haber algún caso en que la matriz fuera ortonormal y sus vectores columna no fueran unitarios? Hay algo que tal vez se me haya escapado, tal vez es porque no he entendido bien los signos matemáticos que aparecen en la frase escrita. Por otra parte aún sigo sin entender claramente muchas de las utilidades de las matrices, si bien creo que mas adelante en el apartado que estoy leyendo hay información a la que espero llegar a su debido tiempo.
Saludos y gracias

[Breogan]

Re: Consulta sobre vectores y matrices ortonormales

Hola:

Todo sale a partir de la definición de matriz ortogonal, y a partir de ella es fácil de demostrar que en una matriz ortogonal los vectores fila (o columna) deben ser orto-normales.

Se define que una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple con lo siguiente:

$\dst \bold{A} \ \in \ \{ortogonal\} \quad \Leftrightarrow \quad \bold{A} \ \bold{A^t} \ = \ \bold{I}$

Si escribís la matriz A como formada por los vectores fila A1, A2, ...., An, de la siguiente forma:

$\dst \bold A = \begin{pmatrix} \bold{A_1}^{(f)} \\ \bold{A_2}^{(f)} \\ \vdots \\ \bold{A_n}^{(f)} \end{pmatrix}$

por lo cual la matriz transpuesta es:

$\dst \bold {A^t} = \begin{pmatrix} \bold{A_1}^{(c)} & \bold{A_2}^{(c)} & \ldots & \bold{A_n}^{(c)} \end{pmatrix}$

donde $\dst \bold{A_i}^{(c)} = \bold{A_i}^{(f)}$, ya que los superindices (c) y (f) están puestos para resaltar la posición geométrica de cada vector y nada mas, y por simplicidad a partir de acá no los voy a poner mas.

Si hacemos el producto de A por su transpuesta, resulta:

$\dst \bold{A \ A^t} = \begin{pmatrix} \bold{A_1} \bold{A_1} & \bold{A_1} \bold{A_2} & \ldots & \bold{A_1} \bold{A_n} \\ \bold{A_2} \bold{A_1} & \bold{A_2} \bold{A_2} & \ldots & \bold{A_2} \bold{A_n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \bold{A_n} \bold{A_1} & \bold{A_n} \bold{A_2} & \ldots & \bold{A_n} \bold{A_n}\end{pmatrix}$

y por la definición de matriz ortogonal este producto debe ser igual a la matriz identidad, por lo cual comparando resulta que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que satisface la definición de orto-normalidad entre los vectores $\dst \bold{A_i}$ y $\dst \bold{A_j}$ (por las propiedades del producto escalar entre vectores), con lo cual queda demostrado.

En cuanto a la utilidad de las matrices es amplia, y seria muy largo hacer una descripción de todas ellas.
Posiblemente la primera aplicación que encuentres sea la transformación lineal entre sistemas de coordenadas geometricas o la representación y solución de sistemas lineales de ecuaciones.

s.e.u.o.

Suerte

[inakigarber]

Re: Consulta sobre vectores y matrices ortonormales

Hola:

Todo sale a partir de la definición de matriz ortogonal, y a partir de ella es fácil de demostrar que en una matriz ortogonal los vectores fila (o columna) deben ser orto-normales.

Se define que una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple con lo siguiente:

$\dst \bold{A} \ \in \ \{ortogonal\} \quad \Leftrightarrow \quad \bold{A} \ \bold{A^t} \ = \ \bold{I}$

Si escribís la matriz A como formada por los vectores fila A1, A2, ...., An, de la siguiente forma:

$\dst \bold A = \begin{pmatrix} \bold{A_1}^{(f)} \\ \bold{A_2}^{(f)} \\ \vdots \\ \bold{A_n}^{(f)} \end{pmatrix}$

por lo cual la matriz transpuesta es:

$\dst \bold {A^t} = \begin{pmatrix} \bold{A_1}^{(c)} & \bold{A_2}^{(c)} & \ldots & \bold{A_n}^{(c)} \end{pmatrix}$

donde $\dst \bold{A_i}^{(c)} = \bold{A_i}^{(f)}$, ya que los superindices (c) y (f) están puestos para resaltar la posición geométrica de cada vector y nada mas, y por simplicidad a partir de acá no los voy a poner mas.

Si hacemos el producto de A por su transpuesta, resulta:

$\dst \bold{A \ A^t} = \begin{pmatrix} \bold{A_1} \bold{A_1} & \bold{A_1} \bold{A_2} & \ldots & \bold{A_1} \bold{A_n} \\ \bold{A_2} \bold{A_1} & \bold{A_2} \bold{A_2} & \ldots & \bold{A_2} \bold{A_n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \bold{A_n} \bold{A_1} & \bold{A_n} \bold{A_2} & \ldots & \bold{A_n} \bold{A_n}\end{pmatrix}$

y por la definición de matriz ortogonal este producto debe ser igual a la matriz identidad, por lo cual comparando resulta que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que satisface la definición de orto-normalidad entre los vectores $\dst \bold{A_i}$ y $\dst \bold{A_j}$ (por las propiedades del producto escalar entre vectores), con lo cual queda demostrado.

.....Suerte

Buenas tardes;
Gracias por tu detallada respuesta, creo que me está dejando las cosas un poco mas claras (aunque aun tengo que fijar mejor los conceptos).
El problema es que no estoy nada acostumbrado a esta notación matemática y que no entiendo muy bien el significado de la siguiente notación matemática

y por la definición de matriz ortogonal este producto debe ser igual a la matriz identidad, por lo cual comparando resulta que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que satisface la definición de orto-normalidad entre los vectores $\dst \bold{A_i}$ y $\dst \bold{A_j}$ (por las propiedades del producto escalar entre vectores), con lo cual queda demostrado.

Saludos y gracias.

[alexpglez]

Re: Consulta sobre vectores y matrices ortonormales

Hola, esa expresión es otra más detallada que la que puso al principio del hilo. Los subíndices i y j, aclaran la posición del vector de la matriz. La delta significa delta de krokener (mis disculpas porque ahora mismo no me acuerdo de cómo se escribe), es la expresión con subíndices de la matriz identidad, si i y j son iguales, da 1 (ya que i=j significa que el elemento está en la diagonal), si i no es igual a j (no está en la diagonal) por tanto es cero. Esto es equivalente a que la multiplicación matricial que indicó Breogan, de la matriz identidad, es decir, sólo 1 en los elementos de la diagonal, y 0 en el resto.

Saludos