Divulgación Algunas dudas sobre el tensor métrico

[alexpglez]

Hola, tenía peqeña duda acerca del tensor métrico.
Un tensor contravariante se puede escribir:

$$A'^{\mu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\gamma}}A^{\gamma}$$

Un tensor covariante:

$$A'_{\nu}=\frac{\partial x^{\Omega}}{\partial x'^{\nu}}A_{\Omega}$$

De tal forma que la contracción formada por el producto de ambos:

$$A'_{\nu}A'^{\nu}=\frac{\partial x^{\Omega}}{\partial x'^{\nu}}\frac{\partial x'^{\nu}}{\partial x^{\gamma}}A_{\Omega}A^{\gamma}=\frac{\partial x^{\Omega}}{\partial x^{\gamma}}A_{\Omega}A^{\gamma}=\delta ^{\Omega}_{\gamma} A_{\Omega}A^{\gamma}=A_{\gamma}A^{\gamma}$$

Da una invariante.
El tensor métrico, transforma un contravariante en un covariante:

$$g'_{\mu \nu}=\frac{\partial x^{\Omega}}{\partial x'^{\mu}}\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial x'^{\nu}}g_{\Omega \gamma}$$

$$g'_{\mu \nu}A'^{\nu}=\frac{\partial x^{\Omega}}{\partial x'^{\mu}}\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial x'^{\nu}}\frac{\partial x'^{\nu}}{\partial x^{r}}g_{\Omega \gamma}A^{r}= \frac{\partial x^{\Omega}}{\partial x'^{\mu}}\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{r}}g_{\Omega \gamma}A^{r}=\frac{\partial x^{\Omega}}{\partial x'^{\mu}}\delta ^{\gamma}_r g_{\Omega \gamma}A^{r}=$$

$$=\frac{\partial x^{\Omega}}{\partial x'^{\mu}}g_{\Omega \gamma}A^{\gamma}=\frac{\partial x^{\Omega}}{\partial x'^{\mu}}A_{\Omega}=A'_{\mu}$$

Siendo las últimas igualdades, convenidas, (creo) ya que el resultado obtenido es la transformación de un tensor covariante.

Mis dudas aparecían con el tensor inverso. Transforma covariantes en contravariantes¿?
Es decir, se definiría así su tranformación¿???:

$$g'^{\mu \nu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\Omega}}\frac{\partial x'^{\nu}}{\partial x^{\gamma}}g^{\Omega \gamma}$$

Y otras dudas acerca del cálculo del tensor métrico. Un método es tenerlo en un sistema de coordenadas, y por la transformación anterior sacarlo en otro sistema de coordenadas, y por las transormaciones de los tensores, sacar los nuevos tensores covariantes y contravariantes. Pero vi un método distinto, que consistía en sacar el diferencial de línea (al cuadrado) o el intervalo de espacio-tiempo (con respecto a la relatividad general), y bucando la matriz tal que: $ds^2=dx g dx^T$.. Aunque este método sea el más rápido, no es totalmente correcto o exacto o sí¿????

PD: siendo dx, en cartesianas, dx, dy, dz, o en esféricas, dr, d \theta, d \phi (por ejemplo), deduzco que se trata entonces de tensores contravariantes¿?

Un saludo, gracias.

[Weip]

Re: Algunas dudas sobre el tensor métrico

Mis dudas aparecían con el tensor inverso. Transforma covariantes en contravariantes¿?

El tensor "normal" transforma siempre de forma covariante y su inversa de forma contravariante. Todas las relaciones las puedes ver aquí.

Pero vi un método distinto, que consistía en sacar el diferencial de línea (al cuadrado) o el intervalo de espacio-tiempo (con respecto a la relatividad general), y bucando la matriz tal que: $ds^2=dx g dx^T$.. Aunque este método sea el más rápido, no es totalmente correcto o exacto o sí¿????

Sí, es correcto. Si ves cosas de álgebra lineal verás con todo detalle que toda forma bilineal tiene una matriz asociada y es muy habitual usarla. De hecho esta es la misma forma de trabajar que expuse en la explicación en el hilo de si es posible un universo sin tiempo que hiciste hace unos días.

[alexpglez]

Re: Algunas dudas sobre el tensor métrico

toda forma bilineal tiene una matriz asociada y es muy habitual usarla. De hecho esta es la misma forma de trabajar que expuse en la explicación en el hilo de si es posible un universo sin tiempo

Perdona, pero aquí no te he entendido muy bien, a que te refieres exactamente forma bilineal, matriz asociada¿? Y lo otro, no sé a lo que te refieres, quiero decir, que querías decir..

[Weip]

Re: Algunas dudas sobre el tensor métrico

Perdona, pero aquí no te he entendido muy bien, a que te refieres exactamente forma bilineal, matriz asociada¿?

Vale te hago un esbozo de la situación porque es largo de explicar. Existen objetos llamados aplicaciones que son lo mismo que las funciones pero más generales: tanto el dominio como la imagen pueden ser conjuntos cualesquiera, ya sean numéricos, de colores, de animales... Supongamos que tanto el dominio como la imagen son espacios vectoriales ("conjuntos de vectores"; no es la definición y por eso lo pongo entre comillas pero por ahora dejémoslo así). Entonces si tenemos una aplicación $f: A \to B$ se dice que $f$ es lineal si:

$f(u+v)=f(u)+f(v)$
$f(\lambda u)=\lambda f(u)$

Donde $u, v \in A$ son vectores y $\lambda$ supón que es real para no complicarnos la vida. Vale pues si has entendido esto, se puede demostrar que dado un vector $x \in A$ entonces $f(x)=Mx$ donde $M$ es una matriz cuyas columnas son las imágenes por $f$ de una base. Es decir, calcular la imagen de una aplicación lineal es lo mismo que coger una matriz cuyas columnas son $f(e_1)$,...,$f(e_n)$ y multiplicarla por el vector que quieras.

Te pongo ejemplos de aplicaciones lineales: la derivada, la integral, el determinante...

Dicho esto, el concepto de forma bilineal es la generalización de todo esto. Sea $f:A \times A \to B$ una aplicación. $f$ es una forma bilineal si se cumple:

$f(u_1+u_2, v)=f(u_1, v)+f(u_2, v)$
$f(u, v_1+v_2)=f(u, v_1)+f(u, v_2)$
$f(\lambda u, v)=\lambda f(u, v)$
$f(u, \lambda v)=\lambda f(u, v)$

Con $u_1, u_2, u, v_1, v_2 \in A$. De la misma forma que pasaba antes, $f(u, v)=u^T M v$ para una matriz $M$ cuyas columnas son las imágenes de los vectores de una base. Ahora vuelvo a responder tu pregunta: el tensor métrico al ser una forma bilineal por definición, tiene siempre una matriz asociada (la $M$ de antes aunque se usan otras notaciones para el tensor métrico) que se suele usar mucho.

Ejemplos de formas bilineales: el producto escalar, el tensor métrico, una cónica...

Una última cosa. No sé qué definición habrás leído de tensor porque en los libros de física e ingeniería suelen poner otra, pero aquí tienes la definición sencilla. Fíjate que los tensores son aplicaciones multilineales, que es lo mismo que hemos comentado aquí pero con más variables y más historias. En el anterior mensaje también te había puesto un enlace a la entrada en wikipedia del tensor métrico y puedes ver con detalle todo esto que te estoy contando.

Y lo otro, no sé a lo que te refieres, quiero decir, que querías decir..

Sólo me refiero a que en este hilo ya hablamos de formas bilineales sin mencionar el nombre (el producto escalar y el hiperboloide) y que si habías entendido mi mensaje pues ya estaba.