Secundaria Producto vectorial

[The Higgs Particle]

Hola! Tengo una pregunta muy concreta: ¿Tiene sentido hablar de producto vectorial en el caso del plano (que no espacio)? Lo pregunto porque debe dar el vector perpendicular y, en el plano, sólo están los unitarios que corresponden al eje Y y al X.

Gracias!!

[Alriga]

Re: Producto vectorial

Sí, tiene sentido.
El módulo del producto vectorial de los dos vectores, dividido por el producto de los módulos de los dos vectores, es el seno del ángulo que forman los dos vectores en el plano.

$\sin \alpha=\dfrac{\|\vec v \wedge \vec u\|}{\|\vec v\| \cdot \|\vec u\|}$

Además geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo que se puede formar con ellos.

Saludos.

[Weip]

Re: Producto vectorial

Depende de lo que se entienda por producto vectorial. En el colegio te habrán dicho como calcularlo a través de una definición de estar por casa de forma que su generalización a dimensiones distintas de tres queda un poco difusa. El producto vectorial admite diversas generalizaciones en función de qué propiedades consideres que lo define. ¿Lo generalizamos a través de un determinante? ¿O a través de su relación con el producto escalar? Es posible que te interese el siguiente hilo que abrió alexpglez preguntando por el producto vectorial en dimensión arbitraria. El artículo que cito en ese hilo aunque largo es de tu nivel. En él se concluye que el producto vectorial solo puede existir en cero, una, tres o siete dimensiones. También se discute a través de qué vía generaliza este producto aunque la del artículo es la más estándar.

Espero haberte ayudado.

Sí, tiene sentido.
El módulo del producto vectorial de los dos vectores, dividido por el producto de los módulos de los dos vectores, es el seno del ángulo que forman los dos vectores en el plano.

$\sin \alpha=\dfrac{\|\vec v \wedge \vec u\|}{\|\vec v\| \cdot \|\vec u\|}$

Además geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo que se puede formar con ellos.

Saludos.

En realidad no es tan fácil. El producto vectorial en $\mathbb{R}^3$ es cerrado mientras que el producto restringido que estás proponiendo para el plano no lo es. Esta es una diferencia fundamental que deja claro que los dos productos vectoriales de los que hablamos no son generalización uno de otro, si no que son distintas operaciones. Por eso digo que hay criterios y criterios para elegir.

[Julián]

Re: Producto vectorial

El producto vectorial es una operación que se realiza entre 2 elementos de un espacio vectorial y cuyo resultado es otro elemento del espacio vectorial. Con la particularidad de que el espacio vectorial debe ser de dimensión 3, es decir, en el espacio tal cual como lo conocemos, el que se representa por un espacio de hilbert. No sé si se puede generalizar para dimensiones superiores pero no para dimensiones inferiores por lo que no existe el producto vectorial en el plano.

Lo que me llama la atencion es que nunca he escuchado un espacio que al tener esta operación tenga un nombre propio. A lo que me refiero es que un espacio vectorial es un conjunto que posee la operación adicción entre sus elementos (con todas las propiedades que se desprenden de esta operación) y una operación denominado multiplicación por un escalar del cuerpo algebraico sobre el que está definido el espacio vectorial. Si al espacio vectorial le "sumamos" el producto punto o producto escalar, el espacio se denomina espacio de hilbert, que es el espacio que modela al espacio físico y de observables en mecánica cuántica.

[alexpglez]

Re: Producto vectorial

A mi modo de ver, sin ser muy entendido, el producto vectorial es una operación algo "patatera" aunque útil y aplicable sólo a la física tridimensional (el caso bidimensional es simple, por ejemplo, el momento angular y la velocidad angular es perpendicular al plano de movimiento, aunque en este caso tampoco sería bidimensional del todo, saltamos sin querer a la tercera dimensión), así como a la matemática anterior a la matemática tensorial y exterior y generalización de dimensiones extra, en donde ya no existe tal producto vectorial, si no el producto exterior, que forma matrices antisimétricas.
Julián, lo que dices no entiendo, según tengo entendido el espacio de hilbert es un espacio de funciones complejo, no es un espacio vectorial en el que participen las dimensiones espaciales, el tensor métrico, etc...

Un saludo

[Weip]

Re: Producto vectorial

¡Hola!

No sé si se puede generalizar para dimensiones superiores pero no para dimensiones inferiores por lo que no existe el producto vectorial en el plano.

Como he dicho en mi anterior mensaje, el producto vectorial se puede extender a un número inferior de 3 dimensiones y superior. El cómo hacerlo ya es otra historia porque hay varios esquemas.

Lo que me llama la atencion es que nunca he escuchado un espacio que al tener esta operación tenga un nombre propio. A lo que me refiero es que un espacio vectorial es un conjunto que posee la operación adicción entre sus elementos (con todas las propiedades que se desprenden de esta operación) y una operación denominado multiplicación por un escalar del cuerpo algebraico sobre el que está definido el espacio vectorial. Si al espacio vectorial le "sumamos" el producto punto o producto escalar, el espacio se denomina espacio de hilbert, que es el espacio que modela al espacio físico y de observables en mecánica cuántica.

Depende un poco por qué se entiende por producto vectorial pero si lo defines como una operación bilineal satisfaciendo la identidad de Jacobi tal que $v\times v=0$ entonces a la estructura natural se le llama álgebra de Lie.

Si al espacio vectorial le "sumamos" el producto punto o producto escalar, el espacio se denomina espacio de hilbert,

Para tener un espacio de Hilbert necesitas más.

Julián, lo que dices no entiendo, según tengo entendido el espacio de hilbert es un espacio de funciones complejo, no es un espacio vectorial en el que participen las dimensiones espaciales, el tensor métrico, etc...

Los espacios de Hilbert son espacios vectoriales por definición ya que necesitas el producto escalar (que exige estructura de espacio vectorial). Y sí, también tiene dimensiones, métricas y un montón de cosas más.

[Julián]

Re: Producto vectorial

Para tener un espacio de Hilbert necesitas más.

Me refería en cuanto a la cantidad de operadores. Y no a las condiciones impuestas que dan la diferencia entre un espacio de prehilbert y hilbert como la sucesión de cauchy.

Julián, lo que dices no entiendo, según tengo entendido el espacio de hilbert es un espacio de funciones complejo, no es un espacio vectorial en el que participen las dimensiones espaciales, el tensor métrico, etc...

Es espacio vectorial hace referencia a un conjunto de elementos que pueden ser arreglo ordenados de números (los llamados "vectores" y también matrices) o pueden ser funciones, etc. En fín sobre estos conjuntos de elementos matemáticos se definen operaciones y de estas se derivan las propiedades propias de estas operaciones.

En fín vectores pueden ser funciones, arreglos de números, matrices ya que estos son elementos de un espacio vectorial. Que al arreglo unidimensional de números $<{v}_{1}, {v}_{2},..., {v}_{n}$ se lo llame vectores supongo que es porque es el objeto matemático más utilizado en la física que conforma un espacio vectorial.

[The Higgs Particle]

Re: Producto vectorial

Una duda más :
¿De dónde sale esta fórmula?

$\vec a \times \vec b=[\vec a]_{x} \vec b=<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0 & -a_3 & a_2 \\<br /> a_3 & 0 & -a_1 \\<br /> -a_2 & a_1 & 0<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> b_1 \\<br /> b_2 \\<br /> b_3<br /> \end{pmatrix}<br />$

[alexpglez]

Re: Producto vectorial

Una duda más :
¿De dónde sale esta fórmula?

$\vec a \times \vec b=[\vec a]_{x} \vec b=<br /> \begin{pmatrix}<br /> 0 & -a_3 & a_2 \\<br /> a_3 & 0 & -a_1 \\<br /> -a_2 & a_1 & 0<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> b_1 \\<br /> b_2 \\<br /> b_3<br /> \end{pmatrix}<br />$

Es la matriz atisimétrica, como regla nemotécnica para sacarla, escribes:

$<br /> \begin{pmatrix}<br /> ... & \hat \imath & \hat \jmath & \hat k \\ <br /> \hat \imath & ... & ... & ... \\<br /> \hat \jmath & ... & ... & ... \\<br /> \hat k & ... & ... & ...<br /> \end{pmatrix}<br />$
Y en los puntos pones la componente que corresponda, es decir, la primera fila sería, ixi=0, jxi=-k -> -a_3, kxi=j -> a_2..
La fórmula es así ya que da el mismo resultado que es lo que se busca.