Secundaria Gauss y Matrices

[The Higgs Particle]

Hola!

¿Cuáles son las matemáticas que se esconcen tras el método de Gauss para calcular la matriz inversa?
Me han explicado cómo se calcula como quien da la receta de cocina, sin explicarme por qué conseguimos lo que conseguimos con simples transformaciones lineales.

[angel relativamente]

Re: Gauss y Matrices

Bueno la idea intuitiva es obvia, si aplicas una serie de transformaciones sobre una matriz A cuadrada hasta llegar a la identidad, al aplicarlas sobre la identidad llegarás a la matriz inversa de A por ser $AA^{-1} = I$. Para formalizarlo se me ha ocurrido un método. Necesitamos primero un lema que no es trivial de demostrar pero sí es fácil de convencerse. Vamos a hacer un caso particular:

Lema:
Sea $F_{is}$ la transformación que a una matriz $A$ le suma la fila $s$ a la fila $i$. Sea B una matriz cuadrada de la misma dimensión que A. Se tiene que $F_{is} (AB)= F_{is}(A) B$ (básicamente, que lo mismo es sumar primero la fila s a la i en la matriz A y multiplicarla por B, que multiplicarla primero y luego sumar la fila s a la i).


Se puede demostrar viendo que el término general de una matriz producto es $c_{ij}=\dst \sum_{k}a_{ik}b_{kj}$, por lo que si hacemos $F_{is}(AB)$ el término de la matriz producto que está en la fila i será

$$c_{ij}=\dst \sum_{k}a_{ik}b_{kj} + \sum_{k}a_{sk}b_{kj}$$

mientras que si primero aplicamos $F_{is}(A)$ tendremos que el término general en la fila i es $a_{ik}+a_{sk}$, por lo que el término general de la matriz producto será

$$c_{ij}=\dst \sum_{k}(a_{ik}+a_{sk} )b_{kj}$$

y claramente las expresiones 1 y 2 coinciden. $\square$


Aplicando este mismo razonamiento se ve que en general, si $G$ son una serie de transformaciones gaussianas sobre filas (sumar múltiplos enteros de filas a otras filas), entonces $G(AB)=G(A)B$. En particular, voy a llamar $g$ a las transformaciones gaussianas que me convierten una matriz A en la identidad i.e. $g(A)=I$. Como $I=AA^{-1}$, aplicamos $g$ en ambos miembros y quedaría

$$g (I) =g (AA^{-1})=g(A)A^{-1} =I A^{-1} = A^{-1}$$

Y ya está demostrado. Observa que el método que te han enseñado consiste en aplicar transformaciones sobre la matriz A hasta convertirla en la identidad (aplicas g sobre A) y a la vez las vas aplicando sobre I (aplicas g sobre I). Al final cuando hayas aplicado todas las transformaciones obtendrás en el lado izquierdo $g(A)=I$, y en el lado derecho $g(I)=A^{-1}$

Espero que se haya entendido, me ha llevado tiempo deducir todo esto x)

Saludos,

[Weip]

Re: Gauss y Matrices

¡Hola! Como ya estás en la universidad pues no sé muy bien que matemáticas haces así que yo voy diciendo y si hay algo me dices. La motivación teórica para usar las transformaciones elementales por filas en el método de Gauss es el siguiente teorema que tiene dos apartados:

a) El subespacio vectorial generado por una família de vectores no cambia por transformaciones elementales.
b) El carácter linealmente dependiente o independiente de una família de vectores no cambia por transformaciones elementales.

Luego se define una matriz elemental como toda matriz que se obtenga aplicando a la matriz identidad transformaciones elementales de filas. Dicho esto se tiene el siguiente teorema que es el corazón del método de Gauss: $A \in M_{n}(K)$ es invertible si y sólo si $A$ es producto de matrices elementales. El método de Gauss sale del siguiente razonamiento. Sea $A\in M_{n}(K)$ invertible. Queremos encontrar $B\in M_{n}(K)$ tal que $BA=Id$. Como $B$ es también invertible (por serlo $A$) tenemos que $B=E_1... E_k$ siendo $E_1,..., E_k$ matrices elementales. Así pues $E_1... E_k A=Id$. En principio como toda matriz elemental tiene inversa elemental (fácil de encontrar, no necesitamos Gauss para eso) entonces tenemos que despejar:$A=E_k^{-1}...E_1^{-1}$. ¿Pero como se encuentran esas matrices? Pues haciendo transformaciones por filas en $A$ y en la identidad a la vez e ir probando (en esta parte no me entretengo más ya que angel relativamente te lo ha explicado detalladamente, que por cierto tiene mucho mérito deducirlo). Ahí tienes el método de Gauss. Decir que toda matriz tiene inversa por la izquierda si y sólo si tiene inversa por la derecha, luego el método de Gauss para el caso $AB=Id$ funciona con la misma explicación.

Como curiosidad fíjate en el paralelismo entre el resultado en negrita y el teorema fundamental de la aritmética. En cierto sentido las matrices elementales actúan como números primos. Esto no es casualidad pero bueno, me estoy desviando y es otra historia.

Espero haberte ayudado.

[The Higgs Particle]

Re: Gauss y Matrices

Esto está mucho mejor que lo que me explican en clase

El nivel es variado: al de física se le ha ido y nos está dando cinemática con el mismo nivel que 1º del grado de física y en matemáticas, por el contrario, nos han definido un matriz como "una caja donde pones números".

A lo que voy: muchas gracias. Ahora todo mucho más claro y con mucha mayor profundidad.


Ah, Weip, lo de los números primos y matrices elementales lo marco como "hilo pendiente"