Secundaria Demostrar que existe la matriz inversa, dada una ecuación que cumple la matriz

[alexpglez]

Hola, el problema está que no sé si está bien hecho lógicamente así: suponer que existe la inversa, y transformar la ecuación para obtener la inversa a partir de la matriz original.
Ej.

$$A^2+3A+6I=0$$

Supongo que existe la inversa, por tanto, post o premultiplico, en este caso da igual.

$$A^{-1}(A^2+3A+6I)=A^{-1}0 \;\;\; A^{-1}A^2+3A^{-1}A+6A^{-1}I=A+3I+6A^{-1}=0$$

$$A^{-1}=-\frac{1}{6}(A+3I)$$

La otra forma que he visto está:

$$A^2+3A+6I=0 \;\;\;\; A(A+3I)+6I=0 \;\;\;\; A[-\frac{1}{6}(A+3I)]=I \;\;\;\; A^{-1}=-\frac{1}{6}(A+3I)$$

Muchas gracias

[Weip]

Re: Demostrar que existe la matriz inversa, dada una ecuación que cumple la matriz

Vendría bien una aclaración porque el título y la primera frase del hilo se contradicen. ¿Has de demostrar que existe la inversa de la matriz que cumple esa ecuación o, sabiendo que existe la inversa, encontrarla en función de $A$? Supongo que es el segundo caso ya que es un ejercicio típico de este tema. Entonces ambos métodos son correctos.

[alexpglez]

Re: Demostrar que existe la matriz inversa, dada una ecuación que cumple la matriz

Vendría bien una aclaración porque el título y la primera frase del hilo se contradicen. ¿Has de demostrar que existe la inversa de la matriz que cumple esa ecuación o, sabiendo que existe la inversa, encontrarla en función de $A$? Supongo que es el segundo caso ya que es un ejercicio típico de este tema. Entonces ambos métodos son correctos.

No, demostrar que existe la inversa a partir de la ecuación y encontrarla en función de A... Supongo que entonces no me vale lo segundo.. En el título afirmaba, y en la primera línea preguntaba, no lo aclaré bien..

[Weip]

Re: Demostrar que existe la matriz inversa, dada una ecuación que cumple la matriz

No, demostrar que existe la inversa a partir de la ecuación y encontrarla en función de A... Supongo que entonces no me vale lo segundo.. En el título afirmaba, y en la primera línea preguntaba, no lo aclaré bien..

En ese caso sólo es válido el segundo método aunque te falta la mitad de la demostración. Como bien indicas se cumple $A[-\frac{1}{6}(A+3I)]=I$. Tomando $A^{-1}=-\frac{1}{6}(A+3I)$ obtenemos la definición de inversa por la derecha. La existencia de inversa por la izquierda sería sacando factor común por el otro lado, a no ser que te hayan demostrado que la existencia de inversa por la derecha implica existencia de inversa por la izquierda, en cuyo caso lo indicas y ya has acabado.

[alexpglez]

Re: Demostrar que existe la matriz inversa, dada una ecuación que cumple la matriz

te hayan demostrado que la existencia de inversa por la derecha implica existencia de inversa por la izquierda, en cuyo caso lo indicas y ya has acabado.

No me lo han demostrado.. tampoco viene en wikipedia ni en mi libro de instituto.. es sencilla de demostrar?
Partamos de $AA^{-1}=I$, vemos como funciona en un producto siendo B y C invertibles, $(BC)(BC)^{-1}=BCC^{-1}B^{-1}=I$, $(AA^{-1})^{-1}=(A^{-1})^{-1} A^{-1}=I^{-1}=I$.
Nos queda que la inversa de A doblemente inversa es A inversa: $[(A^{-1})^{-1}]^{-1}=A^{-1}$ como A es arbitraria e invertible, A^{-1} sigue siendo arbitraria, hemos obtenido que $(A^{-1})^{-1}=A$ o sea $A^{-1}A=I$ para cualquier matriz A invertible... ¿algo así??

PD: la inversa de la identidad es ella misma ya que por la definición de inversa $II^{-1}=I$ pero $II^{-1}=I^{-1}$ entonces: $I^{-1}=I$

[Weip]

Re: Demostrar que existe la matriz inversa, dada una ecuación que cumple la matriz

¡Hola!

No me lo han demostrado.. tampoco viene en wikipedia ni en mi libro de instituto.. es sencilla de demostrar?
Partamos de $AA^{-1}=I$, vemos como funciona en un producto siendo B y C invertibles, $(BC)(BC)^{-1}=BCC^{-1}B^{-1}=I$, $(AA^{-1})^{-1}=(A^{-1})^{-1} A^{-1}=I^{-1}=I$.
Nos queda que la inversa de A doblemente inversa es A inversa: $[(A^{-1})^{-1}]^{-1}=A^{-1}$ como A es arbitraria e invertible, A^{-1} sigue siendo arbitraria, hemos obtenido que $(A^{-1})^{-1}=A$ o sea $A^{-1}A=I$ para cualquier matriz A invertible... ¿algo así??

PD: la inversa de la identidad es ella misma ya que por la definición de inversa $II^{-1}=I$ pero $II^{-1}=I^{-1}$ entonces: $I^{-1}=I$

Das mucha vuelta. No necesitas comprobar el producto y en la parte final no sabes lo que vale $A^{-1}A$. Una posibilidad sería:

$AA^{-1}=I$

$A^{-1}(AA^{-1})=A^{-1}$

$(A^{-1}A)A^{-1}=A^{-1}$

$A^{-1}A=I$

El segundo paso he usado la propiedad asociativa y en el tercero la ley de cancelación.