Divulgación Teoría de Grupos

[The Higgs Particle]

Hola!
He estado buscando en la Wikipedia sobre la Th. Grupos pero la verdad es que no he entendido el artículo (demasiado técnico para mí)

¿Podríais explicarme un poco de qué va esta teoría?
Muchas gracias!

[Alriga]

Re: Teoría de Grupos

No sé lo que ya sabes y lo que te falta saber.
Una iniciación muy sencilla a lo que es un Conjunto+Operación con estructura de Grupo la puedes ver en este enlace:

http://www.disfrutalasmatematicas.co...roduccion.html

Y a partir de aquí se pueden ir ampliando conocimientos.
Saludos.

[Weip]

Re: Teoría de Grupos

La teoría de grupos es una rama del álgebra que tal como indica el nombre, estudia los grupos. Un grupo $G$ es un conjunto dotado de una operación binaria interna $G \times G \to G$ cumpliendo las siguientes propiedades:

1)Propiedad asociativa: para todo $x, y, z \in G, (xy)z=x(yz)$.
2)Existencia de elemento neutro: existe $e\in G$ tal que $ex=xe=x$ para todo $x\in G$.
3)Existencia de elemento simétrico: existe $x'\in G$ tal que $x'x=xx'=e$

Si la operación es el producto entonces al elemento simétrico se le llama inverso. Para acabar de entender el concepto de grupo te invito a comprobar que los siguientes conjuntos son grupos (no te preocupes que es fácil): $(\mathbb{Z},+), (\mathbb{Q},+), (\mathbb{R},+), (\mathbb{C},+)$, $($matrices invertibles, $\cdot$$)$. Fíjate que $(\mathbb{N},+)$ no lo es.

La teoría de grupos se usa en casi todas las ramas de las matemáticas y es muy importante. También tiene muchas aplicaciones en física. Por ejemplo las transformaciones de Lorentz con la composición son un grupo (grupo de Lorentz), y gracias a él podemos estudiar la geometría del espaciotiempo de Minkowski. También se usa en física de partículas, para describir simetrías, y en muchos otros sitios.

Hola!
He estado buscando en la Wikipedia sobre la Th. Grupos pero la verdad es que no he entendido el artículo (demasiado técnico para mí)

Te aseguro que con lo que sabes del colegio puedes entender la wikipedia. Lo que pasa es que esta teoría es chunga, al menos a mí en la universidad me costó mucho, y eso que era la introducción.

Espero haberte ayudado.

[Visitante]

Re: Teoría de Grupos

Si quieres aprender más sobre teoría de grupos y estructuras algebraicas te recomiendo el libro Algebra de Lang

[gdonoso94]

Re: Teoría de Grupos

Hola!
He estado buscando en la Wikipedia sobre la Th. Grupos pero la verdad es que no he entendido el artículo (demasiado técnico para mí)

¿Podríais explicarme un poco de qué va esta teoría?
Muchas gracias!

Wow, bióloga estudiando teoría de grupos... Esto es inédito! Me encanta que exista gente así.

La teoría de grupos... En fin, podrías dedicar una vida a ella, yo ya llevo un ratito dándole.

Te recomiendo el libro Algebra (Graduate Texts in Mathematics) de Thomas W Hungerford. Para mí es de lo mejor que he leído.

Salud!

[angel relativamente]

Re: Teoría de Grupos

No creo que pueda mejorar las explicaciones, pero te invito a buscar informacion sobre unos grupos particulares. El grupo de permutaciones seguro que lo conoces, su formalismo es quiza algo complejo pero la idea es básica. Si tengo un puñado de elementos (pongamos los numeros 1,2,3), ¿de cuantas formas lo puedo ordenar? Pues seguro que sabes responderme y la respuesta es 6. De hecho, sabrias darme todos los numeros explicitamente ordenados de 6 formas distintas. Formalmente, los elementos de este grupo son las permutaciones y la operación es la composición. No es dificil que compruebes con un ejemplo que verifica las propiedades que te ha escrito Weip. Quiza lo mas importante de este grupo es lo que se conoce como el Tma de Cayley: Cualquier grupo finito es isomorfo a uno de estos grupos de permutaciones. En particular un grupo finito muy importante es el diedral, y está muy relacionado con el de permutaciones (te invito a que lo busques). La idea de este grupo es que es el grupo de las simetrias, y comprenderás que las aplicaciones de esto son infinitas pues las simetrias aparecen en muchos campos, incluida la geometría molecular que quiza toques en tu carrera.

[The Higgs Particle]

Re: Teoría de Grupos

He encontrado en la página de Alriga que se dice que un grupo es abeliano cuando se cumple que $a * b = b*a$.

Entonces, los grupos que ha mencionado Weip [$(\mathbb{Z},+); (\mathbb{Q},+); (\mathbb{R},+); (\mathbb{C},+); (M, +)$, donde $|M| \neq 0 \to \exists M^{-1}$] son abelianos, ¿no?

Wow, bióloga estudiando teoría de grupos... Esto es inédito! Me encanta que exista gente así

Me has sacado los colores

Tma de Cayley: Cualquier grupo finito es isomorfo a uno de estos grupos de permutaciones

¿Qué significa exactamente "isomorfo"? Por el contexto me imagino que es algo así como decir "es similar a", pero prefiero precisar.

Entonces ¿el grupo de las simetrías describe las transformaciones que se le puede hacer a un conjunto? Más en concreto, en el diedral (que supuestamente describe las simetrías posibles de un polígono regular, ¿no?) he leído que incluye $n$ simetrías rotacionales y $n$ simetrías de reflexión (un total de $2n$ simetrías posibles, donde $n$ es el número de caras del mismo). ¿Es esto correcto?

[Alriga]

Re: Teoría de Grupos

He encontrado en la página de Alriga que se dice que un grupo es abeliano cuando se cumple que $a * b = b*a$.
Entonces, los grupos que ha mencionado Weip [$(\mathbb{Z},+); (\mathbb{Q},+); (\mathbb{R},+); (\mathbb{C},+); (M, +)$, donde $|M| \neq 0 \to \exists M^{-1}$] son abelianos, ¿no?

Las matrices cuadradas con la operación producto de matrices es un grupo no abeliano, (sinónimo de no conmutativo)
Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Teoría de Grupos

Cuando he puesto $a*b$, con " * " me refería a una operación cualquiera: suma, multiplicación... Y, en este caso, lo indicaba poniendo la operación al lado: $(M, +$) es suma (+) de matrices (M). Perdón por no haberlo especificado mejor.

[Alriga]

Re: Teoría de Grupos

Cuando he puesto $a*b$, con " * " me refería a una operación cualquiera: suma, multiplicación... Y, en este caso, lo indicaba poniendo la operación al lado: $(M, +$) es suma (+) de matrices (M). Perdón por no haberlo especificado mejor.

La suma de matrices es conmutativa, pero entonces sobra lo de $|M| \neq 0 \to \exists M^{-1}$ puesto que esas dos condiciones son necesarias para ser Grupo con el Producto de Matrices, no con la suma.
Y como te decía en el comentario anterior, las matrices n x n invertibles con el producto de matrices son un grupo no abeliano, ejemplo:

$\left(\begin{matrix}2 & 1 \\3 & 2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2 & 5 \\1 & 3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5 & 13 \\8 & 21\end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}2 & 5 \\1 & 3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2 & 1 \\3 & 2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19 & 12 \\11 & 7\end{matrix}\right)$

Saludos.

[Weip]

Re: Teoría de Grupos

Entonces, los grupos que ha mencionado Weip [$(\mathbb{Z},+); (\mathbb{Q},+); (\mathbb{R},+); (\mathbb{C},+); (M, +)$, donde $|M| \neq 0 \to \exists M^{-1}$] son abelianos, ¿no?

Yo me refería al producto de matrices pero no sé porqué el simbolito ha quedado raro. Bueno ya te lo ha aclarado Alriga. Decir que el grupo al que me refiero se llama grupo lineal general y se denota por $GL(n, K)$. En un principio no he dicho nada por no asustar con nombres raros.

¿Qué significa exactamente "isomorfo"? Por el contexto me imagino que es algo así como decir "es similar a", pero prefiero precisar.

Isomorfo en general significa equivalente. Es una aplicación biyectiva que cumple algunas propiedades que dependen de la estructura en la que trabajes. En el caso de la teoría de grupos los isomorfismos son morfismos de grupos biyectivos. Un morfismo de grupos es una aplicación entre grupos que cumple $f(ab)=f(a)f(b)$. La utilidad de los ismorfismos de grupos son que preservan muchas propiedades de los grupos y permiten establecer importantes relaciones entre ellos.

Me sumo a lo que ha dicho Ángel: la teoría de grupos es muy bonita y si buscas grupos concretos podrás entender muchas cosas sin entrar en terrenos fangosos.

Me has sacado los colores

Es que es verdad, poca gente se interesa por ciencias que no son la suya. De hecho yo más allá de la física y de las matemáticas no leo nada. Y la biología me gustaba pero me da palo coger un libro jajaja.

[gdonoso94]

Re: Teoría de Grupos

Es que es verdad, poca gente se interesa por ciencias que no son la suya. De hecho yo más allá de la física y de las matemáticas no leo nada. Y la biología me gustaba pero me da palo coger un libro jajaja.

Poca gente se interesa por ciencias que no sean la suya y mucho menos se meten a estudiar TEORÍA DE GRUPOS! En serio, es de admirar.

Cierro el paréntesis que no es para esto el post, disculpad por no aportar nada pero tenía que ponerlo :P.

[Alriga]

Re: Teoría de Grupos

... Isomorfo en general significa equivalente. Es una aplicación biyectiva que cumple algunas propiedades que dependen de la estructura en la que trabajes...

Ampliando lo que explica Weip, la gracia de encontrar un isomorfismo entre dos estructuras es que lo que en una de ellas es difícil puede ser fácil en la otra. Entonces se trabaja en la estructura fácil y al final se aplica lo deducido a la estructura difícil.
El ejemplo típico es el isomorfismo que nos proporcionan los logaritmos entre los números reales positivos con la multiplicación y los reales con la suma.
Hacer una multiplicación/división es difícil, (o lo era). Por ello, para multiplicar/dividir dos números hacemos sus logaritmos, los sumamos/restamos, (la suma/resta es mucho más fácil que la multiplicación/división), y el resultado obtenido lo “devolvemos” al conjunto original, (lo que se llama hallar el antilogaritmo) Gracias a este isomorfismo se podían hacer cálculos complicados con tablas de logaritmos antes de inventarse las calculadoras electrónicas, que de otro modo hubiesen resultado prácticamente imposibles.

Poca gente se interesa por ciencias que no sean la suya y mucho menos se meten a estudiar TEORÍA DE GRUPOS! En serio, es de admirar.

En efecto, Higgs, tu diversificación de intereses es digna de admiración, ánimo.
Saludos