1r ciclo Conjunto Generador

[laytonfan]

No se me ocurre como se resuelve, o mejor dicho, no se como sacar ese generador en ese caso

[pilimafiqui]

Re: Conjunto Generador

Hago segunda ecuación menos tercera: 3X1-7X2+8X3-5X4+8X5=9
-3X1+9X2-12X3+9X4+8X5=-15 o obtengo 2X2-4X3+4X4+2X5=-6 la divido entre 2 y la multiplico por -3: -3X2+6X3-6X4-3X5=9
Cojo la 1ªy 3X2-6X3+6X4+4X5=-5 asi obtengo que X5=4
Hago la 1ª x3 - 3ª y obtengo 3X1-6X3+9X4=-72
Hago 1ªx7+2ªx3 y obtengo 9X1-6X3+15X4=-174.con estas dos ecuaciones multiplicando la 1º por -9 vuelvo a resolver llegando a 6X3-12X4=42 Le doy a X4=1 (por ejemplo y asi X3=9
Voy a la 1ª de las ecuaciones que nos dan y sale que X2=9
Voy a la 2ª y X1=-9

- - - Actualizado - - -

Conclusión: X1=-9, X2=9, X3=9, X4=1 y X5=4

[Alriga]

Re: Conjunto Generador

De la 2ª y la 3ª: $2x_2-4x_3+4x_4+2x_5=-6$

Multiplicando ésta por -2 y sumándola con la 1ª:

$x_2=2x_3-2x_4-7$

Sustituyendo este $x_2$ en la 1ª se obtiene

$x_5 =4$

Y sustituyendo finalmente $x_2 \ y \ x_5$ en la 3ª

$x_1 =\dfrac{6 x_3-9x_4-87}{3}$

Así las soluciones se pueden generar a partir de cualquier pareja de números reales $(y, z)$ haciendo:

$x_1 =\dfrac{6 y-9z-87}{3}$

$x_2=2y-2z-7$

$x_3 =y$

$x_4 =z$

$x_5 =4$

(Si no me he equivocado en las operaciones...)
Saludos.

[arivasm]

Re: Conjunto Generador

Antes de nada, el conjunto generador no puede ser una única solución, como ha escrito pilimafiqui.

Tampoco se trata de hacer sólo la solución del sistema como ha escrito Alriga, sino que hay que dar algunos pasos más.

Las soluciones de Alriga, que no voy a comprobar, conducen a un espacio cuyas ecuaciones paramétricas son (simplifico alguna y pefiero usar para los parámetros $t$ y $u$ en lugar de $y$ y $z$, aunque éstos son, por supuesto, perfectamente válidos):

$$x_1=2t-3u-29$$

$$x_2=2t-2z-7$$

$$x_3=t$$

$$x_4=u$$

$$x_5=4$$

Como vemos, se trata de un espacio afín de dos dimensiones, por lo que un conjunto generador del mismo estará constituido por tres puntos pertenecientes a él y afinmente independientes. Para encontrarlos basta con que elijamos tres pares de valores para $t$ y $u$. Así, por ejemplo, con $t=0$ y $u=0$ encontramos el punto (-29,-7,0,0,4), con $t=1$ y $u=0$ encontramos el punto (-27,-5,1,0,4) y con $t=0$ y $u=1$ encontramos (-32,-9,0,1,4).

De esta manera, un conjunto generador de las soluciones del sistema es {(-29,-7,0,0,4), (-27,-5,1,0,4), (-32,-9,0,1,4)}

De todos modos, es un tema que tengo algo oxidado, con lo que no me extrañaría nada que lo que se buscase es dar un punto del espacio, por ejemplo, (-29,-7,0,0,4) y un conjunto generador del espacio vectorial asociado, por ejemplo {(2,2,1,0,0), (-3,-2,0,1,0)}

[Weip]

Re: Conjunto Generador

De todos modos, es un tema que tengo algo oxidado, con lo que no me extrañaría nada que lo que se buscase es dar un punto del espacio, por ejemplo, (-29,-7,0,0,4) y un conjunto generador del espacio vectorial asociado, por ejemplo {(2,2,1,0,0), (-3,2,0,1,0)}

Yo también creo que es así, sino el enunciado estaría usando erróneamente el término "generador". Para el punto basta encontrar una solución del sistema y para los vectores directores resolver el sistema de ecuaciones lineales homogéneo asociado, es decir, resolver el mismo sistema pero quitando los términos independientes. El número de vectores a encontrar es igual a la dimensión, que arivasm ya ha explicado cómo encontrar.

[pilimafiqui]

Re: Conjunto Generador

Yo di una unica solución porque es lo que me pide el enunciado.
Para dejarlo en forma general en vez de dar a X4 el valor 1, se deja como X4 y asi ya lo obtengo en forma general.

[Weip]

Re: Conjunto Generador

Yo di una unica solución porque es lo que me pide el enunciado.

El enunciado te dice que des un generador del conjunto solución. Yo interpreto que con "un generador" no te dice que des una solución, sino un conjunto generador. Si los cálculos de Alriga y arivasm están bien (no los he comprobado) entonces el conjunto de soluciones es un plano afín. Si das una única solución entonces estás dando un punto del plano, que no lo genera.