Otras carreras Transformación, polares a cartesianas.

[alexpglez]

Hola, creo que los cálculos están correctos, pero no sé por qué no da lo que tendría que dar.

$$x^{\mu '}(x,y)$$

$$x^{\nu }(r,\phi)$$

El vector contravariante se transforma:

$$x^{\mu '}=\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}x^{\nu}$$

Calculo a matriz de tranformacion:

$$\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}=<br /> \begin {pmatrix}<br /> \cos \phi & -r \sin \phi \\ <br /> \sin \phi & r \cos \phi<br /> \end{pmatrix}<br />$$

Pero el producto me da:

$$(r \cos \phi - r \phi \sin \phi, r \sin \phi + r \phi \cos \phi)=(x-\phi y, y + \phi x) \neq (x,y)$$

Cosa que no es igual...

Sin embargo, pensando en diferenciales:

$$(dr \cos \phi - r d\phi \sin \phi, dr \sin \phi + r d\phi \cos \phi)=(d(r\cos \phi), d(r\sin \phi))=(dx,dy)$$

Entiendo que funcione con diferenciales porque evidentemente es una identidad de transformación, lo que no entiendo son los vectores contravariantes, por qué no funciona¿?

Gracias

[Richard R Richard]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

la verdad que no se si estoy en lo correcto

pero me parece que no tienes multiplicar por la matriz de transformacion sino por su inversa


$V^{\mu}=\dfrac{\partial y^{\mu}}<br /> {\partial x^i}V^i=M^{-1}|_i^{\mu} V^i$

Saludos

[Weip]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

la verdad que no se si estoy en lo correcto

pero me parece que no tienes multiplicar por la matriz de transformacion sino por su inversa


$V^{\mu}=\dfrac{\partial y^{\mu}}<br /> {\partial x^i}V^i=M^{-1}|_i^{\mu} V^i$

Saludos

Fíjate que con la inversa tampoco cuadra.

Hola, creo que los cálculos están correctos, pero no sé por qué no da lo que tendría que dar.

$$x^{\mu '}(x,y)$$

$$x^{\nu }(r,\phi)$$

El vector contravariante se transforma:

$$x^{\mu '}=\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}x^{\nu}$$

Calculo a matriz de tranformacion:

$$\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}=<br /> \begin {pmatrix}<br /> \cos \phi & -r \sin \phi \\ <br /> \sin \phi & r \cos \phi<br /> \end{pmatrix}<br />$$

Pero el producto me da:

$$(r \cos \phi - r \phi \sin \phi, r \sin \phi + r \phi \cos \phi)=(x-\phi y, y + \phi x) \neq (x,y)$$

Cosa que no es igual...

Sin embargo, pensando en diferenciales:

$$(dr \cos \phi - r d\phi \sin \phi, dr \sin \phi + r d\phi \cos \phi)=(d(r\cos \phi), d(r\sin \phi))=(dx,dy)$$

Entiendo que funcione con diferenciales porque evidentemente es una identidad de transformación, lo que no entiendo son los vectores contravariantes, por qué no funciona¿?

Gracias

El problema es el siguiente. El cambio a coordenadas polares no es una aplicación lineal con lo que no existe ninguna matriz para pasar de un vector en cartesianas a un vector en polares ni tampoco de un vector en polares a un vector en cartesianas. ¿Entonces porqué sí funciona con el diferencial del cambio? Porque por definición el diferencial es una aplicación lineal y el cambio a polares es un difeomorfismo así que podemos pasar de $(dx, dy)$ a $(dr, d\phi)$ y viceversa usando la matriz jacobiana y su inversa (dependiendo del caso) tal y como has hecho tú. Resumiendo, si $\varphi$ es el cambio a polares y $J\varphi$ su matriz jacobiana, $(dx, dy)^t=J\varphi (dr, d\phi)^t$ pero $(x, y)^t \neq J\varphi (r, \phi)^t$. Esto es todo, si quieres que detalle alguna de las afirmaciones que he hecho dímelo.

[alexpglez]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

Gracias, si, si eso lo entiendo. Pero entonces, si nos falla:

$$x^{\mu '}=\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu }}x^{\nu}$$

Por qué se definen los tensores contravariantes¿?:

$$A^{\mu '}=\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu }}A^{\nu}$$

O es que la definición de transformación para tensores funciona, excepto para los vectores de posición, en los que sólo funciona en la forma de diferenciales¿?

[Richard R Richard]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

Creo entender que la razon es

El problema es el siguiente. El cambio a coordenadas polares no es una aplicación lineal

y en cambio los tensores son aplicaciones multilineales, por ello si funciona con ellos.

[Weip]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

Gracias, si, si eso lo entiendo. Pero entonces, si nos falla:

$$x^{\mu '}=\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu }}x^{\nu}$$

Por qué se definen los tensores contravariantes¿?:

$$A^{\mu '}=\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu }}A^{\nu}$$

O es que la definición de transformación para tensores funciona, excepto para los vectores de posición, en los que sólo funciona en la forma de diferenciales¿?

Richard ha dado en el clavo: los tensores son multilineales pero el cambio a polares (o su inversa) no. Vamos, que presupones que el cambio a polares es un tensor pero no lo es. Coge papel y lápiz y compruébalo, no es difícil (fíjate que todo se reduce a ver que el seno y el coseno no son lineales). Aunque mi intervención va por otro lado, y es que me gustaría aclarar que todo esto no tiene nada que ver ni con vectores covariantes y contravariantes, ni con tensores ni nada de eso. Las formas diferenciales y demás historias se vuelven útiles en otros contextos, pero en este solo rizan el rizo tapando el trasfondo teórico del asunto. Lo digo para que selecciones el grano de la paja y sepas ver que el problema va con las aplicaciones lineales.

[alexpglez]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

Entonces, ¿cómo se trabaja con tensores polares, y cartesianos, de forma que cumplan las leyes de transformación de éstos?

- - - Actualizado - - -

No sé si leyéndolo otra vez he entendido algo... La fórmula de transformación de tensores, sólo es válida para cambios lineales ¿?

Añado que estoy preguntando ésto, para ver un ejemplo de un cambio de coordenadas aplicando las definiciones de transformación de los tensores. Empecé por coordenadas polares 2D para que fuese más sencillo, por eso lo pregunto. Pero mi duda más bien es sobre la transformación de los tensores, con el ejemplo de las coordenadas polares.

[Weip]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

No sé si leyéndolo otra vez he entendido algo... La fórmula de transformación de tensores, sólo es válida para cambios lineales ¿?

Sí. Como no se te ve muy convencido te lo vuelvo a explicar. Toda aplicación lineal tiene una matriz asociada. $\begin{pmatrix}\cos \phi & -r \sin \phi \\ \sin \phi & r \cos \phi\end{pmatrix}$ es una matriz, y hacer $\begin{pmatrix}\cos \phi & -r \sin \phi \\ \sin \phi & r \cos \phi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}r\\ \phi\end{pmatrix}$ es lo mismo que hacer $f(r, \phi)$ para $f$ lineal. En este caso particular la $f$ es $d\varphi$, con $\varphi$ la aplicación de cambio a polares. Ahora el caso general. $\dst\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}$ es una matriz. Calcular $\dst\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}x^{\nu}$ es lo mismo que calcular $f(x^{\nu})$ con $f$ lineal. Finalmente $\dst\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}$ es la matriz asociada a una aplicación lineal (el diferencial), con lo que la fórmula de transformación de tensores solo sirve para cambios lineales con una matriz muy concreta. A partir de aquí ¿entiendes porqué no te cuadraban los cálculos?

Pero mi duda más bien es sobre la transformación de los tensores, con el ejemplo de las coordenadas polares.

La forma correcta de hacerlo es esta (página 25). Es decir, usas las fórmulas de cambio de cartesianas a polares, calculas los vectores de la base, impones que tu tensor es combinación lineal de esa base y encuentras los coeficientes de la combinación lineal.

[alexpglez]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

Sí. Como no se te ve muy convencido te lo vuelvo a explicar. Toda aplicación lineal tiene una matriz asociada. $\begin{pmatrix}\cos \phi & -r \sin \phi \\ \sin \phi & r \cos \phi\end{pmatrix}$ es una matriz, y hacer $\begin{pmatrix}\cos \phi & -r \sin \phi \\ \sin \phi & r \cos \phi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}r\\ \phi\end{pmatrix}$ es lo mismo que hacer $f(r, \phi)$ para $f$ lineal. En este caso particular la $f$ es $d\varphi$, con $\varphi$ la aplicación de cambio a polares. Ahora el caso general. $\dst\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}$ es una matriz. Calcular $\dst\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}x^{\nu}$ es lo mismo que calcular $f(x^{\nu})$ con $f$ lineal. Finalmente $\dst\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}$ es la matriz asociada a una aplicación lineal (el diferencial), con lo que la fórmula de transformación de tensores solo sirve para cambios lineales con una matriz muy concreta. A partir de aquí ¿entiendes porqué no te cuadraban los cálculos?


La forma correcta de hacerlo es esta (página 25). Es decir, usas las fórmulas de cambio de cartesianas a polares, calculas los vectores de la base, impones que tu tensor es combinación lineal de esa base y encuentras los coeficientes de la combinación lineal.

Lo primero lo entiendo perfectamente. Lo que pasa es que, sin previo aviso en los libros y textos que he leído, venía que los tensores siempre se transforman con la regla que estaba usando.
Lo segundo. Culpa mía de no leer ningún buen texto de tensores antes, casi todo lo que he leído usaba directamente las coordenadas, y no los vectores base. Pero entiendo, la expresión digamos $\vec v=v_i e^i$, no se transforma, sólo las componentes y los vectores de la base. Y como el vector posición, no se escribe $\vec r \neq r \hat r + \phi \hat \phi$, no sé puede transformar. Supongo que esto sólo es una deducción mía a partir de los hechos, consecuencia de lo que estás diciendo que sólo está definido la transformación del vector posición así cuando es lineal.

Yo pregunto, ésto es correcto:

$$A^{\mu '}=\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu }}A^{\nu}$$

Mientras, no lo apliquemos a $x^{\mu}$
¿?

Podrías detallarme estas afirmaciones:

los tensores son multilineales pero el cambio a polares (o su inversa) no

presupones que el cambio a polares es un tensor pero no lo es

A lo último a qué elemento te refieres¿?, a la matriz de cambio, al vector de posición en coordenadas polares o al vector en coordenadas cartesianas¿? Y por qué¿?

Gracias.

[Richard R Richard]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

los tensores son multilineales pero el cambio a polares (o su inversa) no. ..... presupones que el cambio a polares es un tensor pero no lo es.

las aplicaciones lineales y multilineales cumplen la propiedad distributiva en el espacio dual

$$\bar y \cdot (\alpha \vec{x_1}+\beta \vec{x_2})=\alpha \bar y \cdot \vec{x_1}+<br /> \beta \bar y \cdot \vec{x_2}$$

ó

$$<br /> (\alpha \bar {y_1}+\beta \bar{y_2})<br /> \cdot \vec x =\alpha \bar {y_1}\cdot \vec x<br /> +\beta \bar{y_2} \cdot \vec x$$

pero

$$x =r \cos \phi$$

$$y = r \sin \phi$$

no cumplen la linealidad es evidente que si

$$x_1=r \cos \phi_1$$

$$x_2=r \cos \phi_2$$

$$x_1+x_2\neq r \cos (\phi_1+\phi_2)$$

por ello no hay una matriz que transforme bien todos los vectores.

[alexpglez]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

Entonces el vector posición, no es un tensor¿?

[Richard R Richard]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

En esto creo que Weip te va a poder ayudar mas que yo.

para mi los vectores son tensores de Rango 1 , para cualquier cambio de base lineal siempre existira la matriz de transformación y su inversa, pero en el caso de polares , cilindricas y esfericas la transformación no es lineal y por ello los vectores expresados en esas coordenadas no los puedes denominar tensores, hay definiciones de tensores que refieren a que deben si o si transformar linealmente como ya has visto lo de los contravariantes

$V^{\mu}=\dfrac{\partial y^{\mu}}<br /> {\partial x^i}V^i=M^{-1}|_i^{\mu} V^i$

En mi blog hay otros ejemplos como este , pero siempre es mejor acompañar con un buen libro.

saludos

[Weip]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

Entonces el vector posición, no es un tensor¿?

En general no. Un ejemplo es $\vec{r}(t)=(t, e^t)$. Falla en varias condiciones pero para no liarnos con cosas largas de explicar, diré que no es lineal ya que $\vec{r}(\lambda t) \neq \lambda\vec{r}(t)$ para todo $\lambda$ real. Esto ya es suficiente para decir que $\vec{r}$ no es un tensor.

[alexpglez]

Re: Transformación, polares a cartesianas.

Gracias, era es la duda. Ahora entiendo también el por qué no es útil la derivada covariante de la posición (ni se puede definir la velocidad a partir de ésta). Además es lógico, puesto que nosotros definimos las coordenadas y la transformación a partir de éste vector. Pero nunca lo había oído lo de que no era un tensor, por eso dudaba. (Excepto en el caso euclídeo y algún otro más en los que el vector posición se puede transformar como un tensor).