Secundaria Propiedad distributiva producto punto y cruz

[alexpglez]

Tengo dos demostraciones pendientes que no consigo encontrar. (La primera acabo de encontrar alguna mediante proyecciones pero no analítica).
Basados en las definiciones, demostrar:

$$\vec a \cdot \vec b=\vert \vec a \vert \vert \vec b \vert \cos (\vec a,\vec b) \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \vec u \cdot (\vec w + \vec v)=\vec u \cdot \vec w + \vec u \cdot \vec v$$

$$\vec a \times \vec b=\vert \vec a \vert \vert \vec b \vert \sin (a,b) \hat k \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \vec u \times (\vec w + \vec v)=\vec u \times \vec w + \vec u \times \vec v$$

Donde k es un vector unitario perpendicular a u y v en sentido dado por la regla del sacacorchos y el ángulo es el menor que forman los vectores.

Si comienzo a demostrar la implicación hacia la derecha, desarrollando un poco el primero me hallo que se tiene que cumplir:

$$\vert \vec w + \vec v \vert \cos (\vec u,\vec w+\vec v)=\vert \vec w \vert \cos (\vec u,\vec w) + \vert \vec v \vert \cos (\vec u,\vec v)$$

Y por el teorema del coseno para el triángulo que se forma:

$$\vert \vec w + \vec v \vert ^2=\vert \vec w \vert \^2 +\vert \vec v \vert ^2-2\vert \vec w \vert \vert \vec v \vert \cos [\pi-(\vec v,\vec w)]=\vert \vec w \vert ^2 +\vert \vec v \vert ^2+2\vert \vec w \vert \vert \vec v \vert \cos (\vec v,\vec w)$$

Pero ya no sé seguir, seguramente sea más fácil que hacer todo esto..

Un saludo, gracias.

[Weip]

Re: Propiedad asociativa producto punto y cruz

Déjame hacer un comentario. Piensa que el interés del producto escalar y del producto vectorial es poder hacer geometría con ellos. Por eso las pruebas meramente calculísticas no nos aportan nada realmente. Con la concepción moderna de la geometría no hacen falta demostraciones tan farragosas y de hecho se hacen en una línea:

La primera es la bilinealidad del producto escalar, es una definición.
La segunda viene de una propiedad de los determinantes. Y si ves el producto vectorial como una aplicación, es por linealidad.

Y se acabó. Yo creo que así es mucho más fácil. Pero si quieres demostrar las dos implicaciones usando esas definiciones, mañana me vuelvo a pasar que es largo, a no ser que alguien te ayude antes.

PD: No son propiedades asociativas, sino distributivas.

[arivasm]

Re: Propiedad asociativa producto punto y cruz

Por supuesto una salida muy elemental sería demostrarlas en un sistema de coordenadas bien elegido (estoy pensando en las tradicionales coordenadas cartesianas): en el caso del producto escalar se trataría de la propiedad distributiva del producto de números reales y en el caso del vectorial la de que si se suman dos determinantes que sólo se diferencian en una fila o columna el resultado es igual al mismo determinante pero con la fila o columna constituida por la suma de las filas o columnas en cuestión (y en el fondo, de nuevo, se trata de la propiedad distributiva del producto de números reales).

La otra posibilidad es geométrica. Como dices, en el caso del producto escalar se trataría de verificar que la proyección de la suma es la suma de las proyecciones. En el caso del vectorial se trata de tener en cuenta que un producto vectorial representa el vector superficie del paralelogramo que definen ambos vectores. Por tanto, hay que plantear dos paralelogramos que tengan un lado en común (el $\vec u$) y verificar que la suma de los vectores superficie correspondientes al paralelogramo que definen $\vec u$ y $\vec v$ y el que definen $\vec u$ y $\vec w$ es igual a la del que definen $\vec u$ y $\vec v+\vec w$.

Si no recuerdo mal, la clave pasa por considerar el plano perpendicular al vector $\vec u$ y demostrar que la proyección sobre dicho plano del vector $\vec v+\vec w$ es igual a la suma de las proyecciones de dichos vectores (para ello basta con descomponer cada vector en una componente parala a $\vec u$ y otra perpendicular y aplicar la propiedad distributiva del producto escalar -y recurrir a dos vectores cualquiera que sirvan de base para los vectores del plano-). Por otra parte, como de la interpretación geométrica del producto vectorial se sigue inmediatamente que $\vec a\times(k\vec b)=k(\vec a \times\vec b)$ basta con que $\vec u$ sea unitario, es inmediato que la demostración de las proyecciones lleva al resultado buscado, pues el producto vectorial $\vec a\times\vec b$ es igual al de $\vec a$ y ell vector proyección de $\vec b$ sobre el plano perpendicular a $\vec a$.

[alexpglez]

Re: Propiedad asociativa producto punto y cruz

El caso es que quiero seguir la historia, no se como fue, pero las clases del instituto me dan a entender que primero vinieron esas dos definiciones de productos en 3D y luego se paso a las verdaderas definiciones de producto escalar y producto exterior de mayor utilidad.
Las fórmulas del producto vectorial y escalar en coordenadas se deducen después, a partir de la definición (creo), por tanto por eso lo preguntaba. Y si, como decís es obvio con las definiciones del producto escalar y vectorial en coordenadas es sencillo, además está dentro de la definición de las dos la propiedad distributiva.

Intentaré cuando pueda lo que tratas de decir Arivasm.

Por cierto, si, no me di cuenta, escribí mal el nombre, propiedad distributiva, no sé como corregirlo.

[arivasm]

Re: Propiedad asociativa producto punto y cruz

Las fórmulas del producto vectorial y escalar en coordenadas se deducen después, a partir de la definición (creo), por tanto por eso lo preguntaba. Y si, como decís es obvio con las definiciones del producto escalar y vectorial en coordenadas es sencillo, además está dentro de la definición de las dos la propiedad distributiva.

Tienes razón. Sin la demostración de la propiedad distributiva no es posible ir más allá de los productos de los vectores de la base, pues el paso general implica necesariamente tratar con combinaciones lineales de los mismos.

Sobre el nombre del hilo, se ha modificado.

[alexpglez]

Re: Propiedad distributiva producto punto y cruz

Ayer me puse a ello, pero no conseguí nada.. siempre me queda que tengo que calcular el ángulo de la suma de vectores, y no se como dejarlo en función de los módulos y el ángulo que forman entre ellos por ejemplo para ir simplificando.
Por otra parte creo que lo del producto escalar se debe poder demostrar a partir de algo más sencillo, como por ejemplo resolverlo por el quinto postulado de euclides.
He encontrado por intenet este dibujo, ahora me pongo a ello si se puede por esta vía.

[Alriga]

Re: Propiedad distributiva producto punto y cruz

He encontrado por intenet este dibujo, ahora me pongo a ello si se puede por esta vía.

Hola alexgplez, me he mirado la demostración que has hecho en el enlace que facilitas, y salvo error por mi parte creo que es correcta.
Saludos.

[Weip]

Re: Propiedad distributiva producto punto y cruz

He encontrado por intenet este dibujo, ahora me pongo a ello si se puede por esta vía.

Pensaba que lo querías hacer sin proyecciones.

Por otra parte creo que lo del producto escalar se debe poder demostrar a partir de algo más sencillo, como por ejemplo resolverlo por el quinto postulado de euclides.

La geometría que estudias en el colegio no se basa en los postulados de Euclides. Por otra parte en la geometría de Euclides ni siquiera puedes hacer manipulaciones algebraicas, así que mucho menos puedes hablar de producto escalar o de vectores. Pero bueno en el caso hipótetico de que se pudiera hacer así, las demostraciones no serían analíticas, y entiendo que esa no es el tipo de prueba que estás buscando.

[alexpglez]

Re: Propiedad distributiva producto punto y cruz

Pensaba que lo querías hacer sin proyecciones.


La geometría que estudias en el colegio no se basa en los postulados de Euclides. Por otra parte en la geometría de Euclides ni siquiera puedes hacer manipulaciones algebraicas, así que mucho menos puedes hablar de producto escalar o de vectores. Pero bueno en el caso hipótetico de que se pudiera hacer así, las demostraciones no serían analíticas, y entiendo que esa no es el tipo de prueba que estás buscando.

Me gustaría... pero no encuentro ninguna forma sin recurrir a dibujos...
Si que se basa en el quinto postulado de euclides, ya que tratamos con coordenadas cartesianas, y en demostraciones, bueno, esto en concreto no, pero todo lo anterior de ángulos, áreas, volúmenes, etc, sí.¿?

Con lo que si, si lo quieres intentar, yo ayer perdi un buen rato sin ningún resultado planteando el problema, incluso recurrí a rotar vectores con la matriz de transformacion que pasa al vector u(u_x, u_y) a u'(u,0) para simplificar cálculos xD, pero creo que esto se sale del conocimiento de la época del producto escalar.

Por cierto Alriga, el dibujo lo vi en internet, no lo he hecho yo, mis dibujos son peores (con tantos ángulos que dibujar etc..).. evitaba usar gráficos porque primero opino que los gráficos pueden llevar a error, y segundo, porque me acabo de dar cuenta que la relación es puramente matemática.

[Weip]

Re: Propiedad distributiva producto punto y cruz

Me gustaría... pero no encuentro ninguna forma sin recurrir a dibujos...

Te doy una idea a ver qué te parece. Es de la implicación de derecha a izquierda. Suponiendo la propiedad distributiva y conmutativa del producto escalar se puede demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. No sé si la conoces, básicamente dice que $|\vec{u}\cdot \vec{v}| \leqslant ||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||$ donde $||\vec{w}||=\sqrt{\vec{w}\cdot \vec{w}}$ para cualquier vector $\vec{w}$:

$|\vec{u}\cdot \vec{v}| \leqslant ||\hat{u}||\cdot||\vec{v}||$

$-||\vec{u}||\cdot||\vec{v}|| \leqslant \vec{u}\cdot \vec{v} \leqslant ||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||$

$-1 \leqslant \dst\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||} \leqslant 1$

$\cos{\alpha}=\dst\frac{ \vec{u}\cdot \vec{v}}{||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||}$

$\vec{u}\cdot \vec{v}=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cos{\alpha}$

Con $\alpha \in [0, \pi]$. Intenta pensar el porqué de cada paso porque no todos son evidentes. La implicación de izquierda a derecha sale si ves que tu definición es equivalente a multiplicar los dos vectores componente a componente y lo aplicas a cada miembro de la igualdad de la propiedad distributiva por separado. O revirtiendo el proceso que te acabo de enseñar puesto que todo son dobles implicaciones.

Me gustaría... pero no encuentro ninguna forma sin recurrir a dibujos...

Bueno en realidad los dibujos están para apoyar la demostración, pero no forma parte de ella y lo mismo sirve sin ellos.

Si que se basa en el quinto postulado de euclides, ya que tratamos con coordenadas cartesianas, y en demostraciones, bueno, esto en concreto no, pero todo lo anterior de ángulos, áreas, volúmenes, etc, sí.¿?

Lo siento, pero en la geometría de Euclides tampoco hay coordenadas de ningún tipo. Las coordenadas cartesianas vinieron con La Géométrie de Descartes en el 1637, y es una geometría distinta a la clásica. En cuanto a áreas y demás, las demostraciones son 100% teóricas. Piensa que en esa geometría no puedes ni escribir fórmulas, ni hacer manipulaciones algebraicas... Todo es de palabra. Absolutamente todo. De nuevo, la geometría que te enseñan en el colegio es más moderna. Eso sí, es muchísimo más potente que la de Euclides.

[alexpglez]

Re: Propiedad distributiva producto punto y cruz

Te doy una idea a ver qué te parece. Es de la implicación de derecha a izquierda. Suponiendo la propiedad distributiva y conmutativa del producto escalar se puede demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. No sé si la conoces, básicamente dice que $|\vec{u}\cdot \vec{v}| \leqslant ||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||$ donde $||\vec{w}||=\sqrt{\vec{w}\cdot \vec{w}}$ para cualquier vector $\vec{w}$:

$|\vec{u}\cdot \vec{v}| \leqslant ||\hat{u}||\cdot||\vec{v}||$

$-||\vec{u}||\cdot||\vec{v}|| \leqslant \vec{u}\cdot \vec{v} \leqslant ||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||$

$-1 \leqslant \dst\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||} \leqslant 1$

$\cos{\alpha}=\dst\frac{ \vec{u}\cdot \vec{v}}{||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||}$

$\vec{u}\cdot \vec{v}=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cos{\alpha}$

Con $\alpha \in [0, \pi]$. Intenta pensar el porqué de cada paso porque no todos son evidentes. La implicación de izquierda a derecha sale si ves que tu definición es equivalente a multiplicar los dos vectores componente a componente y lo aplicas a cada miembro de la igualdad de la propiedad distributiva por separado. O revirtiendo el proceso que te acabo de enseñar puesto que todo son dobles implicaciones.

Lo siento, pero en la geometría de Euclides tampoco hay coordenadas de ningún tipo. Las coordenadas cartesianas vinieron con La Géométrie de Descartes en el 1637, y es una geometría distinta a la clásica. En cuanto a áreas y demás, las demostraciones son 100% teóricas. Piensa que en esa geometría no puedes ni escribir fórmulas, ni hacer manipulaciones algebraicas... Todo es de palabra. Absolutamente todo. De nuevo, la geometría que te enseñan en el colegio es más moderna. Eso sí, es muchísimo más potente que la de Euclides.

Y cómo sabes que el ángulo es el formado por esos dos vectores¿? Se me ha ocurrido en 2D que se puede verificar la fórmula, ya que el ángulo entre vectores se puede definir formalmente (o al menos es como lo definiría yo, no sé hay alguna definición clara) como la resta entre los dos ángulos que forman con el eje x.

$$\cos (u,x)=\frac{\vec u \cdot \vec \imath}{u}=\frac{u_x}{u}$$

$$\cos (u,y)=\frac{u_y}{u}=\sin (u,x)$$

$$\cos (u,v)=\cos[ (u,x)-(v,x)]=\cos (u,x) \cos (v,x) + \sin (u,x) \sin (v,y)=$$

$$=\frac{u_x}{u}\frac{v_x}{v}+\frac{u_y}{u}\frac{v_y}{v}=\frac{\vec u \cdot \vec v}{uv}$$

Saludos

PD: bueno, todo de palabra si, pero para los que no se nos dan bien retener datos de cabeza, no está de más llamar con letras distancias o ángulos, no por ello deja de ser euclídea. Según tengo entendido también hablar de geometría plana o euclídea es sinónimo a hablar de sistema cartesiano, donde rectas paralelas nunca se cortan.

[Weip]

Re: Propiedad distributiva producto punto y cruz

Y cómo sabes que el ángulo es el formado por esos dos vectores¿?

No hace falta saberlo para hacer la demostración que pides. Que si quieres te lo demuestro, pero el tema es largo y se escapa por mucho del nivel del hilo. Por ahora quédate con que a cada ángulo le corresponde un par de vectores (únicos) y viceversa.

no sé hay alguna definición clara

La hay, pero enlazarla con el tema de los vectores es complicado.

Se me ha ocurrido en 2D que se puede verificar la fórmula, ya que el ángulo entre vectores se puede definir formalmente (o al menos es como lo definiría yo, no sé hay alguna definición clara) como la resta entre los dos ángulos que forman con el eje x.

$$\cos (u,x)=\frac{\vec u \cdot \vec \imath}{u}=\frac{u_x}{u}$$

$$\cos (u,y)=\frac{u_y}{u}=\sin (u,x)$$

$$\cos (u,v)=\cos[ (u,x)-(v,x)]=\cos (u,x) \cos (v,x) + \sin (u,x) \sin (v,y)=$$

$$=\frac{u_x}{u}\frac{v_x}{v}+\frac{u_y}{u}\frac{v_y}{v}=\frac{\vec u \cdot \vec v}{uv}$$

Tiene varios problemas pero bueno, dejo de ser estricto. Si quieres puedes entenderlo así.

PD: bueno, todo de palabra si, pero para los que no se nos dan bien retener datos de cabeza, no está de más llamar con letras distancias o ángulos, no por ello deja de ser euclídea

Ah bueno sí, el nombre que le pongas a las cosas da igual, de hecho las letras se usan para puntos, rectas, distancias, ángulos... Pero poner letras no significa poder hacer álgebra. Ni tampoco poder poner un sistema de coordenadas. Ni tampoco hablar de vectores o de producto escalar.

Según tengo entendido también hablar de geometría plana o euclídea es sinónimo a hablar de sistema cartesiano, donde rectas paralelas nunca se cortan.

Vale acabo de entender donde está tu confusión. Hay dos cosas a las que se les llama geometría euclídea: la de los postulados de Euclides y la de la geometría plana moderna (vectores, producto escalar y vectorial...). La cosa es que son teorías diferentes y no son equivalentes. La que tu estudias en el colegio es la segunda, no la primera.

[alexpglez]

Re: Propiedad distributiva producto punto y cruz

Hola, acabo de revisar, he visto una demostración clara de la propiedad distributiva del producto punto, y estaba plantendo otra del producto vectorial más o menos como dijo arivasm antes.
Trabajamos en 3D, por el teorema del coseno sobre el triángulo formado por los vectores:

$$\vert \vec u - \vec v \vert ^2=\vert v \vert ^2 + \vert u \vert ^2- 2 \vert v \vert \vert u \vert \cos \phi$$

Donde es el ángulo que forman los dos vectores, aplicando $\vec u \cdot \vec v= \vert v \vert \vert u \vert \cos \phi$ y reordenando.

$$\vec u \cdot \vec v=\frac{1}{2}(\vert v \vert ^2 + \vert u \vert ^2- \vert \vec u - \vec v \vert ^2)$$

.
Por la definición de norma en 3D en coordenadas, se obtiene.

$$\vec u \cdot \vec v=u_1 v_1+u_2 v_2 + u_3 v_3$$

.
Y a partir de aquí es sencillo demostrar que es distributiva, y como extender el concepto de norma y producto punto para espacios no euclídeos.

El producto vectorial lo vamos a dividir por casos, supongamos un paralelogramo formado por $\vec B$, $\vec A=\vec A_{t} + \vec A_{p}$ donde son las componentes perpendicular y paralela de A con respecto a B. Es decir que: $A_{p} \times \vec B=0$, $\vert \vec A_t \vert = \vert \vec A \vert \sin \phi$.
Entonces:

$$\vert \vec A \times \vec B \vert =\vert \vec A \vert \sin \phi \vert \vec B \vert=\vert \vec A_t \vert \vert \vec B \vert=\vert \vec A_t \times \vec B \vert$$

Como cumplen la regla del sentido y sumándoles el vector nulo.

$$(\vec A_t+\vec A_p) \times \vec B =\vec A_t \times \vec B +\vec A_p \times \vec B$$

Ya tenemos el primer caso: existe la propiedad distributiva sobre una suma o resta de vectores, siendo uno de ellos paralelo al vector que multiplica.

Para el segundo caso, dos vectores perpendiculares, (y por tanto paralelos entre sí):

$$\vert (\vec A_t+\vec u_t) \times \vec B \vert=\vert \vec A_t + \vec u_t \vert \vert \vec B \vert$$

Pero calculando la norma, $\vert \vec A_t + \vec u_t \vert^2=\vert \vec A_t \vert^2+\vert \vec u_t \vert^2 \pm \vert \vec u_t \vert \vert \vec A_t \vert=(\vert A_t \vert \pm \vert u_t \vert)^2$, dónde el signo depende del sentido de u_t.

$$\vert \vec A_t + \vec u_t \vert \vert \vec B \vert=\vert \vert A_t \vert \vert \vec B \vert \pm \vert u_t \vert \vert \vec B \vert \vert=\vert \vert \vec A_t \times \vec B \vert \pm \vert \vec u_t \times \vec B \vert \vert$$

Y por la regla de los sentidos:

$$(\vec A_t+\vec u_t) \times \vec B=\vec A_t \times \vec B + \vec u_t \times \vec B$$

Con lo que ya tenemos el segundo paso.

Ahora para el tercero, aplicando los dos anteriores a una suma cualquiera de vectores, finalmente:

$$(\vec A + \vec B) \times \vec C=\vec A \times \vec B + \vec B \times \vec C$$

Saludos.