Otras carreras Bases contiuas

[alexpglez]

Creo que empiezo a entender lo de las bases continuas, pero tengo algunas dudas sobre el simbolismo. Dónde estaba leyendo, empieza definiendo que la base:

$$|u_{x0}^n> \;\;\;---->> \;\;\; n \;\;\; |x-x_0| < \frac{1}{2n} \;\;\;\; 0 \;\;\; |x-x_0| > \frac{1}{2n}$$

Y así:

$$\lim_{n \to \infty} |u_{x0}^n>=\delta(x-x_0)$$

Y, dado que $|f> \;\; ---->> \;\; f(x)$ :

$$\lim_{n \to \infty} <u_{x0}^n|f>=f(x_0)$$

Mi duda es que a partir de aquí es que nombra la base $|x>$, pero no escribe a que equivale matemáticamente, yo por suponer, ya que lo nombra justo después de lo anterior que: $|x_0> \;\; ---->> \;\; \delta(x-x_0)$, pero supuesto esto, $|x>\;\; ---->> \;\;\delta(x-x)=\delta(0)=\infty$, que no tiene sentido. Luego escribe que $<x|f>=f(x)$ así que lo más que puedo suponer es que: $|x>=\lim_{x' \to x}|x>\;\;\;\;\; |x'> \;\; ---->> \;\; \delta(x-x')$, y $<x|f>=\lim_{x' \to x}<x'|f>=\lim_{x' \to x}f(x')=f(x)$

Así que mi duda es esa, cuál es la función que representa una base en la misma base.
Saludos.

[Weip]

Re: Bases contiuas

Si solo es simbolismo igual te puedo ayudar pero antes deberías poner en qué página de los apuntes está todo esto (imagino que son los del link del otro hilo) porque sin el contexto... Además que con las flechas "---->>" no sé a qué te refieres.

[alexpglez]

Re: Bases contiuas

No es simbolismo, si no formalismo.
Debería haberlo incluido, en concreto, es pag 30 31 32. http://www-fp.usc.es/~edels/FM/FM_Javier_Mas.pdf
Con la flecha me refiero a la función dada en esa base.
Es que, el problema que veo, no puede definir $<x|x>$. Pero sin querer necesita hacer el cálculo.
Empecemos, empieza definiendo que:

$$<x_0|f>=\int \delta (x-x_0)f(x)dx=f(x_0)$$

$$<p_0|f>=\int \frac{e^{-ip_0x}f(x)}{\sqrt{2\pi}}dx=f(p_0)$$

Pero que decir tiene que cuando escribe:

$$<x|f>=f(x)$$

En principio carece de sentido ya que:

$$<x|f>=\int \delta (x-x)f(x)dx=\int \delta (0)f(x)dx=$$

Infinito¿? ya que delta(0)=infinito¿?.
Lo que no consigo ver es eso, y esto otro, se empieza definiendo que la delta no está en $L^2[-\infty, \infty]$, e inevitablemente cae el producto $<x|x>$, ya que:

$$|f>=\int dx f(x) |x>$$

$$<x|f>=\int_{-\infty}^{\infty} dx f(x) <x|x>=$$

Parece que tiene que dar $f(x)$ por los apuntes, pero no sé por qué.

Una vez solucionada esta duda lo demás me parece lógico, ya que, se puede entender que hay varias representaciones o funciones de un mismo vector dependiendo de la base. Y así se puede demostrar mediante las definiciones de transformación de vectores, que dados dos vectores su producto es $<f|g>=\int dq <f|q> <q|g>=\int dq f(q)^* g(q)$

PD: no lo escribo explícito, los integrandos son de - infinito a + infinito.

[Weip]

Re: Bases contiuas

No es simbolismo, si no formalismo.

Bueno, es lo que habías puesto en el primer mensaje. En todo caso vamos allá:

Pero que decir tiene que cuando escribe:

$$<x|f>=f(x)$$

En principio carece de sentido ya que:

$$<x|f>=\int \delta (x-x)f(x)dx=\int \delta (0)f(x)dx=$$

Infinito¿? ya que delta(0)=infinito¿?.
Lo que no consigo ver es eso, y esto otro, se empieza definiendo que la delta no está en $L^2[-\infty, \infty]$, e inevitablemente cae el producto $<x|x>$, ya que:

$$|f>=\int dx f(x) |x>$$

$$<x|f>=\int_{-\infty}^{\infty} dx f(x) <x|x>=$$

Parece que tiene que dar $f(x)$ por los apuntes, pero no sé por qué.

El propio texto reconoce que tal como está tratando el tema esas expresiones no tienen sentido, pero como a la práctica "funcionan" pues la cosa se queda así. Que $<x|f>=f(x)$ lo coge como una definición para no tener que introducir conceptos de teoría de la medida solo por un detalle.

Una vez solucionada esta duda lo demás me parece lógico, ya que, se puede entender que hay varias representaciones o funciones de un mismo vector dependiendo de la base. Y así se puede demostrar mediante las definiciones de transformación de vectores, que dados dos vectores su producto es $<f|g>=\int dq <f|q> <q|g>=\int dq f(q)^* g(q)$

Aquí no sé si te sigo. El producto escalar lo tienes como una definición siempre.

[alexpglez]

Re: Bases contiuas

Bueno, entonces tendré que aceptar que por definición: $\int_{-\infty}^{\infty} dx f(x) <x|x>=f(x)$ ¿?
Lo último me refería a que la definición de producto escalar da igual en la base en la que nos referimos, el único requerimiento es tener las representaciones en la misma base. Tenemos dos vectores:

$$|f>=\int dq_1 <q_1|f> |q_1>$$

$$|g>=\int dq_2 <q_2|g> |q_2>$$

$$<f|g>=\int\int dq_1 dq_2 <f|q_1> <q_2|g> <q_1|q_2>$$

Pero con la definición de cambio de base, la misma que usada anteriormente:

$$<f|g>=\int dq_1 <f|q_1> [\int d_2 <q_1|q_2> <q_2]|g> =$$

$$\int dq_1 <f|q_1> <q_1|g> =\int dq_1 f(q_1)^* g(q_1)$$

Pero también:

$$<f|g>=\int dq_2 <f|[\int dq_1 <q_1|q_2> |q_1>] <q_2|g>=$$

$$\int dq_2 <f|q_2> <q_2|g>=\int dq_2 f(q_2)^* g(q_2)$$

[Weip]

Re: Bases contiuas

Bueno, entonces tendré que aceptar que por definición: $\int_{-\infty}^{\infty} dx f(x) <x|x>=f(x)$ ¿?

El autor lo quiere así. Aunque si te interesa mañana te lo demuestro.

Edito: Lo primero de todo es corregir la integral de los apuntes. Cuando tratas a la delta de Dirac en plan bien la integral $\dst\int_{\mathbb{R}} \delta (x-x_0)f(x)dx$ se convierte en una notación para $\dst\int_{\mathbb{R}} f(x)d\delta_{x_0}$ donde $\delta_{x_0}$ es la llamada medida de Dirac: $\delta_{x_0}(A)=1$ si $x_0 \in A$ y $\delta_{x_0}(A)=0$ en otro caso siempre que $A$ sea medible. Fíjate que ya no hay problemas en $x$. Dicho esto te demuestro que $<x_0|f>=f(x_0)$ para todo $x_0$. Sea $f$ una función simple: $\dst\int_{\mathbb{R}} f d\delta_{x_0}=\dst\int_{\mathbb{R}}\dst\sum_{i = 1}^n s_i 1_{A_i}d\delta_{x_0}=\dst\sum_{i = 1}^n s_i \dst\int_{\mathbb{R}} 1_{A_i}d\delta_{x_0}=\dst\sum_{i = 1}^n s_i \delta_{x_0}(A_i)=\dst\sum_{i = 1}^n s_i 1_{A_i}=f(x_0)$. Ahora sea $f$ una función medible y no negativa. Sea $\left\{ x_i \right\}_1^\infty$ una sucesión no decreciente de funciones simples que converge puntualmente a $f$. Entonces $<x_0|f>=\dst\int_{\mathbb{R}} \delta (x-x_0)f(x)dx=\dst\int_{\mathbb{R}} f d\delta_{x_0}=\dst\lim_{i \to \infty}\dst\int_{\mathbb{R}} x_i d\delta_{x_0}=\dst\lim_{i \to \infty} x_i(x_0)=f(x_0)$. En la tercera igualdad he aplicado el teorema de la convergencia dominada y en esta última lo que he comprobado anteriormente para funciones simples. Si haces $x_0=x$ todo funciona exactamente igual. El motivo de considerar $\dst\int_{\mathbb{R}} \delta (x-x_0)f(x)dx$ una notación no es solo los sinsentidos a los que lleva sino porque no cumple los requisitos necesarios para aplicar el cálculo integral que conoces. Dado que todo esto es un follón el autor prefiere dar recetas algebraicas de cómo funciona la cosa. Situaciones parecidas pasan en otros contextos cuando el concepto riguroso no es el objetivo de la explicación pero hay que usarlo como medio. En todo caso no es una notación que se use solo para la delta de Dirac, sino que se utiliza en todo el contexto de las medidas.

¡Saludos!

[alexpglez]

Re: Bases contiuas

Sigo sin entender, muy bien el desarrollo que acabas de hacer. Como parece que la cuestión ahora es la medida de Dirac, ahora abro un hilo por separado para preguntar. Entendiendo eso, creo que ya entenderé el resto.

Gracias y saludos.