Otras carreras Producto exterior, dudas y deducción fórmula en componentes

[alexpglez]

Hola, estaba mirando el producto exterior, pero no lo he visto nunca expresado en componentes, excepto para vectores, aunque no he visto la demostración. Por eso vengo a preguntar.
Empecemos:

$$e_i \wedge e_j=- e_j \wedge e_i$$

Dada esta definición se deduce que: $e_i \wedge e_i=0$
Producto de 2 vectores en espacio bidimensional:

$$a \wedge b=(a^1e_1+a^2e_2) \wedge (b^1 e_1+b^2e_2)=(a^1b^2 -a^2b^1) e_1 \wedge e_2$$

A partir de aquí, mi duda es, entonces, el cálculo para el producto es eliminar términos iguales y dar la vuelta al producto en los repetidos¿?
Si esto es verdad puedo:

$$a \wedge b=\sum_{i,j}a^ib^je_i \wedge e_j=\sum_{i,j \;\; j>i}a^ib^je_i \wedge e_j + \sum_{i,j \;\; j<i}a^ib^je_i \wedge e_j$$

Ahora renombramos los índices del segundo sumatorio:

$$=\sum_{i,j \;\; j>i}a^ib^je_i \wedge e_j - \sum_{i,j \;\; j<i}a^ib^je_j \wedge e_i=\sum_{i,j \;\; j>i}a^ib^je_i \wedge e_j - \sum_{i,j \;\; j>i}a^jb^ie_i \wedge e_j$$

$$=\sum_{i,j \;\; j>i}(a^ib^j-a^jb^i)e_i \wedge e_j$$

¿Este sería el método para demostrarlo con cualquier tensor de cualquier orden?

Y pregunto, para el producto tensorial (comparando): $e_i \otimes e_j=e_j \otimes e_i$¿?
Entonces aplicando lo anterior: $\sum_{i,j}a^ib^j e_i \otimes e_j$me sale $2 \sum_{i,j,j>i} a^i b^j e_i \otimes e_j + \sum_i a^i b^i e_i \otimes e_i$
Que no es la fórmula del producto en coordenadas.

Saludos

[alexpglez]

Re: Producto exterior, dudas y deducción fórmula en componentes

Alguien me puede ayudar. ¿?

[Richard R Richard]

Re: Producto exterior, dudas y deducción fórmula en componentes

Hola, estaba mirando el producto exterior, pero no lo he visto nunca expresado en componentes, excepto para vectores, aunque no he visto la demostración. Por eso vengo a preguntar.
Empecemos:

$$e_i \wedge e_j=- e_j \wedge e_i$$

Dada esta definición se deduce que: $e_i \wedge e_i=0$
Producto de 2 vectores en espacio bidimensional:

$$a \wedge b=(a^1e_1+a^2e_2) \wedge (b^1 e_1+b^2e_2)=(a^1b^2 -a^2b^1) e_1 \wedge e_2$$

A partir de aquí, mi duda es, entonces, el cálculo para el producto es eliminar términos iguales y dar la vuelta al producto en los repetidos¿?
Si esto es verdad puedo:

$$a \wedge b=\sum_{i,j}a^ib^je_i \wedge e_j=\sum_{i,j \;\; j>i}a^ib^je_i \wedge e_j + \sum_{i,j \;\; j<i}a^ib^je_i \wedge e_j$$

Ahora renombramos los índices del segundo sumatorio:

$$=\sum_{i,j \;\; j>i}a^ib^je_i \wedge e_j - \sum_{i,j \;\; j<i}a^ib^je_j \wedge e_i=\sum_{i,j \;\; j>i}a^ib^je_i \wedge e_j - \sum_{i,j \;\; j>i}a^jb^ie_i \wedge e_j$$

$$=\sum_{i,j \;\; j>i}(a^ib^j-a^jb^i)e_i \wedge e_j$$

No sería muy didactico para explicarlo alex , lo siento, no veo nada equivocado en tus ecuaciones,

¿Este sería el método para demostrarlo con cualquier tensor de cualquier orden?

Creo que con tensores la cosa no es tan facil,

Y pregunto, para el producto tensorial (comparando): $e_i \otimes e_j=e_j \otimes e_i$¿?
Entonces aplicando lo anterior: $\sum_{i,j}a^ib^j e_i \otimes e_j$me sale $2 \sum_{i,j,j>i} a^i b^j e_i \otimes e_j + \sum_i a^i b^i e_i \otimes e_i$
Que no es la fórmula del producto en coordenadas.

Saludos

te puedo decir que he buscado el tema de donde lo lei yo , en el libro Bert Janssen capitulo 4 seccion 5 algebra de tensores

Resulta que es un pseudo-tensor el encargado de dar forma a lo que sería el producto tensorial


se llama tensor de leviCivita

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde el producto será

$A x B =\epsilon^{i,j,k}a_jb_k$


Saludos

[alexpglez]

Re: Producto exterior, dudas y deducción fórmula en componentes

No sería muy didactico para explicarlo alex , lo siento, no veo nada equivocado en tus ecuaciones,




Creo que con tensores la cosa no es tan facil,


te puedo decir que he buscado el tema de donde lo lei yo , en el libro Bert Janssen capitulo 4 seccion 5 algebra de tensores

Resulta que es un pseudo-tensor el encargado de dar forma a lo que sería el producto tensorial


se llama tensor de leviCivita

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde el producto será

$A x B =\epsilon^{i,j,k}a_jb_k$


Saludos

En esto último creo que el tensor levi-Civita se usa también para hallar el dual. Por ejemplo en R^3 el producto vectorial se puede escribir como el dual de un producto exterior.
Tendré que buscar más, gracias.

[Weip]

Re: Producto exterior, dudas y deducción fórmula en componentes

Yo del producto tensorial no sé nada pero ya que me has pedido ayuda pues he mirado la wikipedia y pone que en general el producto tensorial no es conmutativo. En tu caso concreto $e_i \otimes e_j$ es la matriz que tiene un $1$ en la posición $(i,j)$ y cero en todas las demás así que $e_i \otimes e_j \neq e_j \otimes e_i$. Por ejemplo en $\mathbb{R}^2$: $e_1 \otimes e_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y $e_2 \otimes e_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$.

[alexpglez]

Re: Producto exterior, dudas y deducción fórmula en componentes

Yo del producto tensorial no sé nada pero ya que me has pedido ayuda pues he mirado la wikipedia y pone que en general el producto tensorial no es conmutativo. En tu caso concreto $e_i \otimes e_j$ es la matriz que tiene un $1$ en la posición $(i,j)$ y cero en todas las demás así que $e_i \otimes e_j \neq e_j \otimes e_i$. Por ejemplo en $\mathbb{R}^2$: $e_1 \otimes e_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y $e_2 \otimes e_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$.

Pensé que lo habías visto, cierto, me he confundido en lo siguiente, que el producto tensorial cree tensores simétricos tales que: $T^{i j}=T^{j i}$, no implica que $\vec e_i \otimes \vec e_j = \vec e_j \otimes \vec e_i$

Gracias. Lo del producto exterior va bien¿? a partir de ahí podría sacar la fórmula en componentes general, que por cierto, no logro entender de wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exterior

Por otra parte, debo tratar a las nuevas bases, ¿como equivalentes? $\vec e_i \otimes \vec e_j$ y $\vec e_i \wedge \vec e_j$.

[Weip]

Re: Producto exterior, dudas y deducción fórmula en componentes

Demostración no conozco pero su significado sí puedo explicártelo. ¿Recuerdas la fórmula de Leibniz? En forma compacta es $\text{det} A=\dst\sum_{\sigma \in S_n}\text{sign}(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{i\sigma(i)}$. En pocas palabras viene a decir que el determinante se puede calcular permutando elementos de la matriz, multiplicándolos y sumándolos. $\sigma$ es una permutación, $\text{sign}(\sigma)$ es la signatura de $\sigma$ (puede valer $1$ o $-1$; es la parte que controla los signos) y $S_n$ es el grupo de permutaciones, es decir, el conjunto de permutaciones con la operación de composición. Entendiendo esta fórmula creo que puedes entender la wikipedia. Si te lías puedes probar a calcular un caso particular. Si $\alpha$ y $\beta$ son uno formas, $(\alpha \wedge \beta)(v_1,v_2)=\left| \begin{matrix} \alpha(v_1) & \beta(v_1) \\ \alpha(v_2) & \beta(v_2)\end{matrix}\right|=\alpha(v_1)\beta(v_2)- \alpha(v_2)\beta(v_1)$. Primero has de usar la fórmula de la wikipedia y luego la fórmula de Leibniz. Espero que con este ejemplo lo entiendas mejor.

Por otra parte, debo tratar a las nuevas bases, ¿como equivalentes? $\vec e_i \otimes \vec e_j$ y $\vec e_i \wedge \vec e_j$.

No entiendo qué quieres decir con equivalentes. Cada uno es un vector de su base correspondiente y cada base pertenece a un espacio vectorial diferente.

[alexpglez]

Re: Producto exterior, dudas y deducción fórmula en componentes

Lo que no entiendo es lo de los corchetes w[sigma (x_1), sigma (x_2) ....]
Por otra parte, creo que se puede deducir directamente de las propiedades: $\vec u \wedge \vec v=-\vec v \wedge \vec u$ y $(\vec u \wedge \vec v) \wedge \vec w=\vec u \wedge (\vec v \wedge \vec w)$
De esto se deduce que si $A_l$ es un tensor formado por l productos exteriores de vectores, y $B_m$ es otro tensor formado por m productos: $A_l \wedge B_m=(-1)^{lm} B_m \wedge A_l$.

No consigo entender del todo, ya preguntaré mejor esto más tarde, cuando consiga ponerme a razonar un poco sobre ello. Pero el producto tensorial, exterior e interno se relacionan entre sí seguido por la fórmula del cálculo geométrico. Considerando el producto tensorial como una multiplicación a secas de las matrices.
Pero creo que sin esta consideración matricial, es imposible considerar "equivalentes" los tensores. Lo que preguntaba era si se podían sumar, restar, los diferentes tensores (componente a componente por ejemplo), pero ya entiendo que no tendría sentido matemático alguno.

Por otra parte, ¿el convenio de sumación de Einstein aquí, es diferente que para tensores formados por productos tensoriales? Quiero decir, sería así el convenio de sumación:

$$\vec v \otimes \vec w=\sum_{i,j} v_iw_j \vec e_i \otimes \vec e_j=v_iw_j \vec e_i \otimes \vec e_j$$

$$\vec v \otimes \vec w=\sum_{i,j, j>i} (v_iw_j-v_jw_i) \vec e_i \wedge \vec e_j=(v_iw_j-v_jw_i) \vec e_i \wedge \vec e_j$$

Saludos.

[Weip]

Re: Producto exterior, dudas y deducción fórmula en componentes

Lo que no entiendo es lo de los corchetes w[sigma (x_1), sigma (x_2) ....]

$\omega$ no deja de ser una aplicación (función si quieres) y tiene sus argumentos. Los corchetes que han usado son raros, igual la notación de la wikipedia inglesa te puede resultar más familiar: $\omega(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(k)})$.

Por otra parte, creo que se puede deducir directamente de las propiedades: $\vec u \wedge \vec v=-\vec v \wedge \vec u$ y $(\vec u \wedge \vec v) \wedge \vec w=\vec u \wedge (\vec v \wedge \vec w)$
De esto se deduce que si $A_l$ es un tensor formado por l productos exteriores de vectores, y $B_m$ es otro tensor formado por m productos: $A_l \wedge B_m=(-1)^{lm} B_m \wedge A_l$.

Es una propiedad, sí, ¿pero es la fórmula que buscabas? Es que creo que tus preguntas apuntaban a otra dirección.

Lo que preguntaba era si se podían sumar, restar, los diferentes tensores (componente a componente por ejemplo), pero ya entiendo que no tendría sentido matemático alguno.

Puedes, están en un espacio vectorial, la suma viene en el pack (y la resta como elemento simétrico en las propiedades de la suma).

Por otra parte, ¿el convenio de sumación de Einstein aquí, es diferente que para tensores formados por productos tensoriales? Quiero decir, sería así el convenio de sumación:

$$\vec v \otimes \vec w=\sum_{i,j} v_iw_j \vec e_i \otimes \vec e_j=v_iw_j \vec e_i \otimes \vec e_j$$

$$\vec v \otimes \vec w=\sum_{i,j, j>i} (v_iw_j-v_jw_i) \vec e_i \wedge \vec e_j=(v_iw_j-v_jw_i) \vec e_i \wedge \vec e_j$$

No sé, en la wikipedia pone que es así, pero en matemáticas no se usa y no estoy seguro así que mejor espera a alguien que pueda contestarte.