Problema sobre segmentos

[Sr_KratS]

En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, P y C de modo que P es el punto medio de BC. Si AB² + BP² = 40. Hallar AP² + BP²

Podrían ayudarme???? Gracias de antemano

[Alriga]

En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, P y C de modo que P es el punto medio de BC. Si AB² + BP² = 40. Hallar AP² + BP²

Hola, ¿has copiado bien el enunciado? Es que me extraña que en las relaciones AB² + BP² = 40 y AP² + BP² no sale para nada el punto C, y entonces me da la impresión de que la información de que "P es el punto medio de BC" no sirve para nada.

$AB=x$

$BP=y$

$AP=x+y$

$AB^2+BP^2=x^2+y^2=40$

$AP^2+BP^2=(x+y)^2+y^2=x^2+y^2+2xy+y^2=40+y^2+2xy$

Y ya está, no le veo ninguna gracia al ejercicio.

Saludos.

[Sr_KratS]

Hola, ¿has copiado bien el enunciado? Es que me extraña que en las relaciones AB² + BP² = 40 y AP² + BP² no sale para nada el punto C, y entonces me da la impresión de que la información de que "P es el punto medio de BC" no sirve para nada.

$AB=x$

$BP=y$

$AP=x+y$

$AB^2+BP^2=x^2+y^2=40$

$AP^2+BP^2=(x+y)^2+y^2=x^2+y^2+2xy+y^2=40+y^2+2xy$

Y ya está, no le veo ninguna gracia al ejercicio.

Saludos.

Holaaaa, ahora me acabo de dar cuenta de que si me equivoqué en una letra, es así

En una recta se consideran los puntos A, B, P y C de modo que P es el punto medio de BC. Si AB² + AC² = 40. Hallar AP² + BP²

De todos modos creo que no plantee mi duda correctamente(de hecho no plantee ninguna duda)

El ejercicio está resuelto, pero no entiendo algunos datos que sacó el libro para resolverlo, aquí va una imagen del ejercicio resuelto, podrías explicarme???? Gracias de antemano

[Alriga]

En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, P y C de modo que P es el punto medio de (BC).

Si (AB)² + (AC)² = 40 hallar (AP)² + (BP)²

1)

$(AB)^2+(AC)^2=40$

$a^2+(a+2b)^2=40$

$a^2+a^2+4b^2+4ab=40$

$$a^2+2b^2+2ab=20$$

2)

$(AP)^2+(BP)^2=(a+b)^2+b^2$

$$(AP)^2+(BP)^2=a^2+2b^2+2ab$$

Comparando (1) con (2) se deduce:

$$(AP)^2+(BP)^2=20$$

Saludos.