Consulta sobre cálculo de determinante de una matriz.

[inakigarber]

Buenas noches;

Aunque estoy siguiendo un blog sobre relatividad, he creído oportuno abrir este hilo en este foro. Tengo una duda sobre el cálculo de un determinante, y no se bien como aclararlo. El problema viene cuando pide que;
"PROBLEMA; Demuéstrese que:"
$g_{11}G(1,3)+g_{21}G(2.3)+g_{31}G(3,3)=0$
No consigo entender exactamente que es lo que pretende, de manera que estoy un poco perdido.

Más adelante, en el siguiente párrafo aparece la siguiente matriz;$\left(\begin{matrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{matrix}\right)$
El cofactor $G(1,3)=\left|\begin{matrix}g_{22}&g_{22}\\g_{31}&g_{32}\end{matrix}\right|=g_{12}g_{21}-g_{11}g_{22}$
El cofactor $G(2,3)=\left|\begin{matrix}g_{11}&g_{11}\\g_{31}&g_{31}\end{matrix}\right|=g_{11}g_{11}-g_{31}g_{31}=0$
El cofactor $G(3,3)=\left|\begin{matrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{matrix}\right|=g_{11}g_{22}-g_{21}g_{12}$
$g_{11}G(1,3)+g_{31}G(3,3)=g_{11}(g_{12}g_{21}-g_{11}g_{22})+g_{31}(g_{11}g_{22}-g_{21}g_{12})$, pero el resultado no me sale cero. Supongo que me he equivocado en algo, o bien me falta dar algún paso más. El determinante de la matriz arriba indicada es cero (por si cabían dudas lo he comprobado), por lo que supongo que supongo que lo que se pretende calcular es el determinante de esta matriz. Por otra parte, me confunde el hecho de que cuando hago por calculadora un desarrollo del determinante de esta matriz, me salen dos términos sumando y uno intermedio restando, y no me coinciden tampoco los subíndices. El resultado que me sale es el siguiente;
$g=g_{11}\left|\begin{matrix}g_{22}&g_{21}\\g_{32}&g_{31}\end{matrix}\right|-g_{12}\left|\begin{matrix}g_{21}&g_{21}\\g_{31}&g_{31}\end{matrix}\right|+g_{11}\left|\begin{matrix}g_{21}&g_{21}\\g_{31}&g_{32}\end{matrix}\right|$

De manera que me doy cuenta que estoy tremendamente despistado. ¿Cómo puedo salir de esta confusión?

Saludos y gracias.