1r ciclo Gradiente en coordenadas generalizadas

[Gauss-Ostrogradski]

La expresion del operador nabla en coordenadas ortogonales generalizdas es la siguiente :
$\vec{\nabla}=\vec{u_1}.\frac{\partial}{h_1.\partial u_1}+\vec{u_2}.\frac{\partial}{h_2.\partial u_2}+\vec{u_3}.\frac{\partial}{h_3.\partial u_3}$

siendo $\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}$ los vectores unitarios asociados a las coordenadas $u_1,u_2,u_3$ respectivamente y $h_1,h_2,h_3$ los coeficientes metricos.

Me consta que la expresion del gradiente de un campo vectorial en coordenadas ortogonales generalizadas es :
$\vec{\nabla}\vec{A}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left(\frac {\partial (h_2h_3A_1)}{\partial u_1}+\frac{\partial (h_1h_3A_2)}{\partial u_2}+\frac{\partial (h_1h_2A_3)}{\partial u_3}\right)$

El caso es que no consigo llegar a esa expresion aplicando el operador al campo vectorial y desarrollando. ¿Alguien sabe como se llega a esa expresion del gradiente ?

[pod]

Re: Gradiente en coordenadas generalizadas

Lo que has puesto se llama "divergencia" del campo vectorial. Lo correspondiente al gradiente para un campo vectorial es la matriz jacobiana

El operador nabla no tiene siempre la misma forma, se debe utilizar una expresión diferente según se quiera hacer un gradiente, una divergencia, un rotacional, etc. La forma de averiguar la expresión correcta es partir de un sistema cartesiano y hacer el cambio de variables. La demostración no es que sea de las más sencillas; hay que tener en cuenta que los vectores de la nueva base pueden no ser constantes, y por lo tanto hay que derivarlos correctamente. Puedes ver la demostración (no explicada de la mejor forma, pero bueno) en este documento pdf.

[Gauss-Ostrogradski]

Re: Gradiente en coordenadas generalizadas

Cierto, he puesto gradiente donde deberia haber puesto divergencia, ha sido un despiste.
Gracias por el documento con la demostracion. Intentare estudiarlo, de todas formas veo que lo saca partiendo de la expresion para coordenadas curvilineas NO ortogonales y particularizandola para coordenadas ortogonales. La verdad es que nunca he estudiado coordenadas curvilineas no ortogonales pero me lo empollare.

Entonces para que quede claro en mi petrea cabeza, ¿no se puede aplicar el operador tal cual lo he puesto al principio al campo vectorial ?

[pod]

Re: Gradiente en coordenadas generalizadas

Entonces para que quede claro en mi petrea cabeza, ¿no se puede aplicar el operador tal cual lo he puesto al principio al campo vectorial ?

Esa es la forma del operador cuando se usa para un gradiente.

La historia es la siguiente: resulta que en la teoría de campos en varias dimensiones, hay varias cantidades diferenciales importantes, entre ellas: gradiente, divergencia y rotacional. Alguien (¿Hamilton?) se dio cuenta que en coordenadas cartesianas, estas tres cosas se podían escribir como operaciones fundamentales con un "vector", que recibió el nombre de nabla (una letra del alfabeto Persa, aunque parece ser que originalmente no era recto como ahora, sinó que estaba rotado hacia un lado). Por eso se popularizó la notación

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Pero esto sólo es cierto en coordenadas cartesianas. En coordenadas generales, no existe ningún vector que cumpla esas igualdades.

Gradientes, divergencias y rotacionales tienen existencia propia independientemente del operador nabla. Lo que pasa es que didácticamente, es más sencillo explicarlos a partir de este. El problema llega cuando afrontas coordenadas más complejas.


Y sí, ese documento en particular no es que sea el más claro del mundo. Seguro que los hay más claros.

[danielandresbru]

Re: Gradiente en coordenadas generalizadas

Lo que has puesto se llama "divergencia" del campo vectorial. Lo correspondiente al gradiente para un campo vectorial es la matriz jacobiana

El operador nabla no tiene siempre la misma forma, se debe utilizar una expresión diferente según se quiera hacer un gradiente, una divergencia, un rotacional, etc. La forma de averiguar la expresión correcta es partir de un sistema cartesiano y hacer el cambio de variables. La demostración no es que sea de las más sencillas; hay que tener en cuenta que los vectores de la nueva base pueden no ser constantes, y por lo tanto hay que derivarlos correctamente. Puedes ver la demostración (no explicada de la mejor forma, pero bueno) en este documento pdf.

El pdf de este enlace ya no se ve, alguno sabe donde lo puedo conseguir, o algún otro sitio en donde muestre como se llega a la expresión de los operadores diferenciales: gradiente, rotacional y divergencia en coordenadas generalizadas?

[Richard R Richard]

Re: Gradiente en coordenadas generalizadas

otro sitio en donde muestre como se llega a la expresión de los operadores diferenciales: gradiente, rotacional y divergencia en coordenadas generalizadas?

Operadores diferenciales

Laplaciano
Divergencia
Gradiente
Rotacional

[Jaime Rudas]

Re: Gradiente en coordenadas generalizadas

El pdf de este enlace ya no se ve, alguno sabe donde lo puedo conseguir,

No estoy seguro, pero quizás se trate de este documento.